确定下列函数的单调区间: (1) y=2x3-6x2-18x-7; (2)=2x+dfrac (8)(x)(x>0); (3)=2x+dfrac (8)(x); (4)=2x+dfrac (8)(x); (5) y=(x-1)(x+1)3; (6)=2x+dfrac (8)(x); (7) y=xne-x (n>0, x≥0); (8)y=x+|sin 2x|.

解 (1) y′=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y′=0得驻点x1=-1, x2=3.

    列表得

x	(-∞, -1)	-1	(-1, 3)	3	(3, +∞)
y′	+	0	-	0	+
y	↗		↘		↗

 

 

 

 

    可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.

    (2) ,令y′=0得驻点x1=2, x2=-2(舍去).

    因为当x>2时, y>0; 当0<x<2时, y′<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +∞)内单调增加.    

    (3), 令y′=0得驻点, x2=1, 不可导点为x=0.

    列表得

    可见函数在(-∞, 0), , [1, +∞)内单调减少, 在上单调增加.

    (4)因为, 所以函数在(-∞, +∞)内单调增加.

    (5) y′=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2. 因为当时, y′<0; 当时, y′>0, 所以函数在内单调减少, 在内单调增加.

    (6), 驻点为, 不可导点为, x3=a .

    列表得

 

    可见函数在, , (a, +∞)内单调增加, 在内单调减少.

    (7)y′=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时, y′>0; 当x>n时, y′<0, 所以函数在[0, n]上单调增加, 在[n, +∞)内单调减少.

    (8)(k=0, ±1, ±2, ∙ ∙ ∙),

       (k=0, ±1, ±2, ∙ ∙ ∙).

y′是以π为周期的函数, 在[0, π]内令y′=0, 得驻点, , 不可导点为.

    列表得

根据函数在[0, π]上的单调性及y′在(-∞, +∞)的周期性可知函数在上单调增加, 在上单调减少(k=0, ±1, ±2, ∙ ∙ ∙).