题目

[题目]-|||-填空-|||-幂级数 sum _(n=1)^infty ((-1))^n-1n(x)^n-1 在区间 (-1,1) 内的和函数 S(x)= __ .

题目解答

答案

解析

本题考查幂级数求和函数的知识点，解题思路是先对幂级数进行积分，将其转化为已知形式的幂级数，求出积分后的和函数，再对和函数求导得到原幂级数的和函数。

  1. 设幂级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n - 1}n{x}^{n - 1}$的和函数为$S(x)$，对$S(x)$在区间$(-1,1)$内进行积分：
    • 根据幂级数的逐项积分性质$\int_{a}^{b}\sum_{n = 1}^{\infty}u_n(x)dx=\sum_{n = 1}^{\infty}\int_{a}^{b}u_n(x)dx$，可得$\int S(x)dx=\int [\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n - 1}n{x}^{n - 1}]dx$。
    • 对$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n - 1}n{x}^{n - 1}$中的每一项$(-1)^{n - 1}nx^{n - 1}$进行积分，根据积分公式$\int x^m dx=\frac{1}{m + 1}x^{m + 1}+C(m\neq - 1)$，可得$\int (-1)^{n - 1}nx^{n - 1}dx=(-1)^{n - 1}x^{n}+C$。
    • 所以$\int S(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n - 1}x^{n}+C$。
    • 进一步变形为$\int S(x)dx=-\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}+C$。
    • 我们知道等比级数$\sum_{n = 0}^{\infty}t^n=\frac{1}{1 - t}$，$|t|\lt 1$，那么$\sum _{n=1}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}=\sum_{n = 0}^{\infty}(-1)^{n}x^{n}-1=\frac{1}{1-(-x)}-1=\frac{1}{1 + x}-1$。
    • 所以$\int S(x)dx=-\left(\frac{1}{1 + x}-1\right)+C=-\frac{1}{1 + x}+1 + C$，由于$1 + C$仍然是常数，可将其合并为一个常数$C$，即$\int S(x)dx=-\frac{1}{1 + x}+C$。
  2. 对$\int S(x)dx=-\frac{1}{1 + x}+C$两边求导得到$S(x)$：
    • 根据求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，对$-\frac{1}{1 + x}$求导，令$u=-1$，$v = 1 + x$，则$u^\prime = 0$，$v^\prime = 1$，所以$(-\frac{1}{1 + x})^\prime=\frac{0\times(1 + x)-(-1)\times1}{(1 + x)^2}=\frac{1}{(1 + x)^2}$。
    • 常数$C$的导数为$0$，所以$S(x)=(\int S(x)dx)^\prime=\left(-\frac{1}{1 + x}+C\right)^\prime=\frac{1}{(1 + x)^2}$。