[题目]设方阵A满足 ^2-A-2E=0 证明A可逆,并求-|||--1

考查要点：本题主要考查矩阵可逆的判定及逆矩阵的求解方法，需要利用矩阵方程进行变形，结合矩阵乘法的性质推导出逆矩阵。

解题核心思路：

1. 从给定的矩阵方程出发，通过移项和因式分解，将方程转化为与单位矩阵$E$相关联的形式。
2. 构造逆矩阵：通过等式变形，找到与$A$相乘后得到$E$的矩阵，从而确定$A^{-1}$的表达式。
3. 关键点在于利用矩阵乘法的结合律和单位矩阵的性质，将方程中的$A$分离出来。

步骤1：整理原方程
已知方程：
$A^2 - A - 2E = 0$
移项得：
$A^2 - A = 2E$

步骤2：因式分解
将左边提取公因子$A$：
$A(A - E) = 2E$

步骤3：构造逆矩阵
两边同时乘以$\frac{1}{2}$：
$A \cdot \frac{1}{2}(A - E) = E$
此时，$\frac{1}{2}(A - E)$是与$A$相乘得到$E$的矩阵，因此：
$A^{-1} = \frac{1}{2}(A - E)$

结论：

• $A$可逆，因为存在矩阵$\frac{1}{2}(A - E)$使得$A \cdot \frac{1}{2}(A - E) = E$。
• 逆矩阵表达式为$A^{-1} = \frac{1}{2}(A - E)$。