7、|遇遇 极限 lim _(xarrow infty )((dfrac {1-2x)(3-2x))}^x 的值为 ()-|||-A 0-|||-B) dfrac (1)(3)-|||-C 1-|||-D e-|||-(4分)
题目解答
答案
解析
本题考查重要极限公式$\lim\limits_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$的应用，解题的关键在于对所给极限式子进行变形，使其符合重要极限的形式。
步骤一：对原式进行变形
已知原式为$\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{1 - 2x}{3 - 2x})^x$，先对分子分母同时除以$-2x$，得到：
$\lim\limits_{x \to \infty}(\frac{\frac{1}{-2x} - 1}{\frac{3}{-2x} - 1})^x$
步骤二：进一步变形
设$t = -\frac{2x}{3}$，则$x = -\frac{3t}{2}$，当$x \to \infty$时，$t \to \infty$。
将$x = -\frac{3t}{2}$代入上式可得：
$\begin{align*}&\lim\limits_{t \to \infty}(\frac{\frac{1}{-2\times(-\frac{3t}{2})} - 1}{\frac{3}{-2\times(-\frac{3t}{2})} - 1})^{-\frac{3t}{2}}\\=&\lim\limits_{t \to \infty}(\frac{\frac{1}{3t} - 1}{\frac{1}{t} - 1})^{-\frac{3t}{2}}\\=&\lim\limits_{t \to \infty}(\frac{1 - 3t}{3 - 3t})^{-\frac{3t}{2}}\\=&\lim\limits_{t \to \infty}(\frac{3t - 1}{3t - 3})^{\frac{3t}{2}}\\=&\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t}{2}}\end{align*}$
步骤三：凑成重要极限形式
对$(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t}{2}}$进行变形，$\frac{3t}{2}=\frac{3t - 3 + 3}{2}=\frac{3t - 3}{2}+\frac{3}{2}$，则原式可化为：
$\begin{align*}&\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t - 3}{2}+\frac{3}{2}}\\=&\lim\limits_{t \to \infty}[(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t - 3}{2}}\times(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3}{2}}]\\=&\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t - 3}{2}}\times\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3}{2}}\end{align*}$
步骤四：分别计算两个极限
- 对于$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t - 3}{2}}$，令$u = \frac{3t - 3}{2}$，当$t \to \infty$时，$u \to \infty$，则$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t - 3}{2}}=\lim\limits_{u \to \infty}(1 + \frac{1}{u})^u = e$。
- 对于$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3}{2}}$，当$t \to \infty$时，$\frac{2}{3t - 3} \to 0$，所以$\lim\limits_{t \ \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3}{2}} = 1^{\frac{3}{2}} = 1$。
步骤五：计算最终结果
将两个极限的结果相乘，可得：
$\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3t - 3}{2}}\2}\times\lim\limits_{t \to \infty}(1 + \frac{2}{3t - 3})^{\frac{3}{2}} = e\times1 = e$