用数列极限定义证明:-|||-如果 lim (x)_(2k)=a, lim _(karrow infty )(x)_(2k+1)=a, 则 lim (x)_(n)=a.

考查要点：本题主要考查数列极限的定义及其子列收敛性的关系，需要理解子列收敛与原数列收敛的关系，并能通过分奇偶项分别处理的方法进行证明。

解题核心思路：

1. 子列收敛性：已知奇数项子列和偶数项子列均收敛于$a$，需证明原数列也收敛于$a$。
2. 极限定义应用：根据极限定义，对任意$\varepsilon > 0$，分别找到奇偶子列满足$|x_n - a| < \varepsilon$的项数下界，取最大值作为原数列的公共下界$N$。
3. 统一N的选取：通过取两个子列下界的较大值，确保当$n > N$时，无论$n$是奇数还是偶数，均满足不等式。

步骤1：分别处理奇偶子列

• 奇数项子列：$\lim_{k \to \infty} x_{2k+1} = a$，对任意$\varepsilon > 0$，存在正整数$K_1$，当$k > K_1$时，$|x_{2k+1} - a| < \varepsilon$。
• 偶数项子列：$\lim_{k \to \infty} x_{2k} = a$，同理存在正整数$K_2$，当$k > K_2$时，$|x_{2k} - a| < \varepsilon$。

步骤2：确定公共下界$N$

• 奇数项满足条件的最小$n$为$2K_1 + 1$（对应$k = K_1 + 1$）。
• 偶数项满足条件的最小$n$为$2K_2 + 2$（对应$k = K_2 + 1$）。
• 取$N = \max\{2K_1 + 1, 2K_2 + 2\}$，则当$n > N$时：
  • 若$n$为奇数，则$n \geq 2K_1 + 1$，对应$k \geq K_1 + 1$，满足$|x_n - a| < \varepsilon$；
  • 若$n$为偶数，则$n \geq 2K_2 + 2$，对应$k \geq K_2 + 1$，满足$|x_n - a| < \varepsilon$。

步骤3：结论
根据数列极限定义，当$n > N$时，$|x_n - a| < \varepsilon$恒成立，故$\lim_{n \to \infty} x_n = a$。