题目
9.(1)若两个向量组等价,则它们所含向量的个数相同;(2)若向量组 {a)_(1),(a)_(2),... ,(a)_(n)} -|||-线性无关, _(n+1) 可由α1,α2····α,线性表出,则向量组(a1,a2,···α,41)也线性无关:(3)-|||-设(a1,a2,···,an)线性无关,则(a1,a2,··· _{n-1)3 也线性无关:(4)(a1,a2,····α,)-|||-线性相关,则a,-定可由α1,α2,··· _(n)-1 线性表出:以上说法正确的有 () 个。-|||-A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析向量组等价的定义
向量组等价的定义是两个向量组可以互相线性表示。这并不意味着它们所含向量的个数相同。例如，向量组{α1, α2}和{α1, α2, α1+α2}是等价的，但它们所含向量的个数不同。因此，(1)是错误的。
步骤 2：分析向量组线性无关的性质
若向量组{α1, α2, ..., αn}线性无关，且αn+1可由α1, α2, ..., αn线性表出，则向量组{α1, α2, ..., αn, αn+1}线性相关。因为αn+1可以表示为α1, α2, ..., αn的线性组合，所以向量组{α1, α2, ..., αn, αn+1}中存在线性相关关系。因此，(2)是错误的。
步骤 3：分析向量组线性无关的性质
若向量组{α1, α2, ..., αn}线性无关，则向量组{α1, α2, ..., αn-1}也线性无关。因为如果{α1, α2, ..., αn-1}线性相关，则存在不全为零的数k1, k2, ..., kn-1，使得k1α1 + k2α2 + ... + kn-1αn-1 = 0。这与{α1, α2, ..., αn}线性无关矛盾。因此，(3)是正确的。
步骤 4：分析向量组线性相关的性质
若向量组{α1, α2, ..., αn}线性相关，则不一定存在某个向量可以由其余向量线性表出。例如，向量组{α1, α2, α1+α2}线性相关，但α1不能由α2线性表出，α2不能由α1线性表出。因此，(4)是错误的。
向量组等价的定义是两个向量组可以互相线性表示。这并不意味着它们所含向量的个数相同。例如，向量组{α1, α2}和{α1, α2, α1+α2}是等价的，但它们所含向量的个数不同。因此，(1)是错误的。
步骤 2：分析向量组线性无关的性质
若向量组{α1, α2, ..., αn}线性无关，且αn+1可由α1, α2, ..., αn线性表出，则向量组{α1, α2, ..., αn, αn+1}线性相关。因为αn+1可以表示为α1, α2, ..., αn的线性组合，所以向量组{α1, α2, ..., αn, αn+1}中存在线性相关关系。因此，(2)是错误的。
步骤 3：分析向量组线性无关的性质
若向量组{α1, α2, ..., αn}线性无关，则向量组{α1, α2, ..., αn-1}也线性无关。因为如果{α1, α2, ..., αn-1}线性相关，则存在不全为零的数k1, k2, ..., kn-1，使得k1α1 + k2α2 + ... + kn-1αn-1 = 0。这与{α1, α2, ..., αn}线性无关矛盾。因此，(3)是正确的。
步骤 4：分析向量组线性相关的性质
若向量组{α1, α2, ..., αn}线性相关，则不一定存在某个向量可以由其余向量线性表出。例如，向量组{α1, α2, α1+α2}线性相关，但α1不能由α2线性表出，α2不能由α1线性表出。因此，(4)是错误的。