题目
[(x^2-y)dx-(x+sin^2 y)dy, 其中L是在圆周[(x^2-y)dx-(x+sin^2 y)dy上由 点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.
, 其中L是在圆周
上由
点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧.
题目解答
答案
P=x2-y, Q=-x-sin2y, 
,
由格林公式有
,
其中L、AB、BO及D如图所示.
故 
.
解析
步骤 1：确定积分路径
积分路径L是圆周$y=\sqrt{2x-x^2}$上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧。首先，我们确认圆周方程，它可重写为$(x-1)^2+y^2=1$，这是一个以(1, 0)为圆心，半径为1的圆。
步骤 2：应用格林公式
格林公式适用于封闭路径上的积分，但我们的路径L不是封闭的。为了应用格林公式，我们添加一条从(1, 1)到(0, 0)的直线段，形成一个封闭路径。设这条直线段为L'，则整个封闭路径为L+L'。根据格林公式，对于封闭路径上的积分，我们有：
$$\oint_{L+L'} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$
其中，$P=x^2-y$，$Q=-x-\sin^2y$，$D$是封闭路径L+L'所围成的区域。
步骤 3：计算偏导数
计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = -1$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = -1$$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - (-1) = 0$。
步骤 4：应用格林公式
由于$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，根据格林公式，封闭路径L+L'上的积分等于0，即：
$$\oint_{L+L'} Pdx + Qdy = 0$$
这意味着：
$$\int_{L} Pdx + Qdy + \int_{L'} Pdx + Qdy = 0$$
因此，我们有：
$$\int_{L} Pdx + Qdy = -\int_{L'} Pdx + Qdy$$
步骤 5：计算L'上的积分
L'是从(1, 1)到(0, 0)的直线段，可以参数化为$x=t$，$y=t$，$t$从1变到0。因此，$dx=dt$，$dy=dt$。将P和Q代入，得到：
$$\int_{L'} Pdx + Qdy = \int_{1}^{0} (t^2-t)dt - (t+\sin^2t)dt$$
$$= \int_{1}^{0} (t^2-t-t-\sin^2t)dt$$
$$= \int_{1}^{0} (t^2-2t-\sin^2t)dt$$
$$= \left[\frac{t^3}{3}-t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin 2t\right]_{1}^{0}$$
$$= \left(0-0+0-0\right) - \left(\frac{1}{3}-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sin 2\right)$$
$$= -\frac{1}{3}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sin 2$$
$$= \frac{1}{6}+\frac{1}{4}\sin 2$$
步骤 6：计算L上的积分
根据步骤4，我们有：
$$\int_{L} Pdx + Qdy = -\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\sin 2\right)$$
$$= -\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\sin 2$$
积分路径L是圆周$y=\sqrt{2x-x^2}$上由点(0, 0)到点(1, 1)的一段弧。首先，我们确认圆周方程，它可重写为$(x-1)^2+y^2=1$，这是一个以(1, 0)为圆心，半径为1的圆。
步骤 2：应用格林公式
格林公式适用于封闭路径上的积分，但我们的路径L不是封闭的。为了应用格林公式，我们添加一条从(1, 1)到(0, 0)的直线段，形成一个封闭路径。设这条直线段为L'，则整个封闭路径为L+L'。根据格林公式，对于封闭路径上的积分，我们有：
$$\oint_{L+L'} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$
其中，$P=x^2-y$，$Q=-x-\sin^2y$，$D$是封闭路径L+L'所围成的区域。
步骤 3：计算偏导数
计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = -1$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = -1$$
因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -1 - (-1) = 0$。
步骤 4：应用格林公式
由于$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0$，根据格林公式，封闭路径L+L'上的积分等于0，即：
$$\oint_{L+L'} Pdx + Qdy = 0$$
这意味着：
$$\int_{L} Pdx + Qdy + \int_{L'} Pdx + Qdy = 0$$
因此，我们有：
$$\int_{L} Pdx + Qdy = -\int_{L'} Pdx + Qdy$$
步骤 5：计算L'上的积分
L'是从(1, 1)到(0, 0)的直线段，可以参数化为$x=t$，$y=t$，$t$从1变到0。因此，$dx=dt$，$dy=dt$。将P和Q代入，得到：
$$\int_{L'} Pdx + Qdy = \int_{1}^{0} (t^2-t)dt - (t+\sin^2t)dt$$
$$= \int_{1}^{0} (t^2-t-t-\sin^2t)dt$$
$$= \int_{1}^{0} (t^2-2t-\sin^2t)dt$$
$$= \left[\frac{t^3}{3}-t^2+\frac{1}{2}t-\frac{1}{4}\sin 2t\right]_{1}^{0}$$
$$= \left(0-0+0-0\right) - \left(\frac{1}{3}-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sin 2\right)$$
$$= -\frac{1}{3}+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\sin 2$$
$$= \frac{1}{6}+\frac{1}{4}\sin 2$$
步骤 6：计算L上的积分
根据步骤4，我们有：
$$\int_{L} Pdx + Qdy = -\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}\sin 2\right)$$
$$= -\frac{1}{6}-\frac{1}{4}\sin 2$$