题目
设A、B、C是两两相互独立且三事件不能同时发生的事件，且P（A）=P（B）=P（C）=x，则使P（A∪B∪C）取最大值的x为（ ）。A. 1B. 1/2C. 1/3D. 1/4
设A、B、C是两两相互独立且三事件不能同时发生的事件，且P（A）=P（B）=P（C）=x，则使P（A∪B∪C）取最大值的x为（ ）。
A. 1
B. 1/2
C. 1/3
D. 1/4
题目解答
答案
B. 1/2
解析
步骤 1：理解事件的性质
事件A、B、C是两两相互独立的，这意味着P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)。同时，三事件不能同时发生，即P(ABC)=0。
步骤 2：计算P(A∪B∪C)
根据概率论中的加法公式，对于三个事件A、B、C，有：
\[ P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \]
由于P(ABC)=0，且P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，代入P(A)=P(B)=P(C)=x，得到：
\[ P(A∪B∪C) = x + x + x - x^2 - x^2 - x^2 = 3x - 3x^2 \]
步骤 3：求P(A∪B∪C)的最大值
为了求P(A∪B∪C)的最大值，我们需要对函数f(x)=3x-3x^2求导，找到其最大值点。
\[ f'(x) = 3 - 6x \]
令f'(x)=0，解得x=1/2。由于f''(x)=-6<0，说明x=1/2时f(x)取得最大值。
事件A、B、C是两两相互独立的，这意味着P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)。同时，三事件不能同时发生，即P(ABC)=0。
步骤 2：计算P(A∪B∪C)
根据概率论中的加法公式，对于三个事件A、B、C，有：
\[ P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC) \]
由于P(ABC)=0，且P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)，代入P(A)=P(B)=P(C)=x，得到：
\[ P(A∪B∪C) = x + x + x - x^2 - x^2 - x^2 = 3x - 3x^2 \]
步骤 3：求P(A∪B∪C)的最大值
为了求P(A∪B∪C)的最大值，我们需要对函数f(x)=3x-3x^2求导，找到其最大值点。
\[ f'(x) = 3 - 6x \]
令f'(x)=0，解得x=1/2。由于f''(x)=-6<0，说明x=1/2时f(x)取得最大值。