10.曲线 =dfrac ({x)^2+x}({x)^2-1} 的渐近线的条数为 () .-|||-(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 3

考查要点：本题主要考查有理函数的渐近线求解，包括垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线的判断。

解题核心思路：

1. 垂直渐近线：分母为零且分子不为零的点。
2. 水平渐近线：分子分母次数相同时，水平渐近线为分子首项系数比分母首项系数。
3. 斜渐近线：分子次数比分母高1时存在，通过多项式除法确定。

破题关键点：

• 分母因式分解：确定可能的垂直渐近线位置。
• 约分简化：判断是否存在可去间断点而非垂直渐近线。
• 极限分析：通过极限计算确定水平渐近线，排除斜渐近线。

垂直渐近线

1. 分母为零的点：
   分母 $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$，解得 $x=1$ 或 $x=-1$。

2. 分子在分母零点的值：

   • 当 $x=1$ 时，分子 $1^2 + 1 = 2 \neq 0$，故 $x=1$ 是垂直渐近线。
   • 当 $x=-1$ 时，分子 $(-1)^2 + (-1) = 0$，需进一步分析。

3. 约分简化：
   原式可化简为 $\dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x}{x-1}$（$x \neq -1$）。
   当 $x \to -1$ 时，函数值趋近于 $\dfrac{-1}{-2} = \dfrac{1}{2}$，故 $x=-1$ 是可去间断点，无垂直渐近线。

结论：垂直渐近线为 $x=1$。

水平渐近线

1. 分子分母次数相同：
   分子和分母均为二次项，首项系数均为1，故水平渐近线为 $y = \dfrac{1}{1} = 1$。
2. 验证极限：
   $\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 1} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}} = 1$。

结论：水平渐近线为 $y=1$。

斜渐近线

1. 分子次数不比分母高1：
   分子和分母次数相同，故不存在斜渐近线。