4.确定下列初等函数的存在域:-|||-(1) =sin (sin x) ;-|||-(2) =lg (lg x) ;-|||-(3) =arcsin (lg dfrac (x)(10)) ;-|||-(4) =lg (arcsin dfrac (x)(10)) .

考查要点：本题主要考查复合函数的存在域（定义域）求解，涉及三角函数、对数函数、反三角函数的复合应用。
解题思路：

1. 逐层分析：从外层函数开始，确定内层函数的输出范围需满足外层函数的定义域要求。
2. 递推约束：将外层函数的定义域限制转化为对内层函数的输入限制，再递推求解最外层变量的范围。
   关键点：

• 正弦函数定义域为全体实数，但其值域为$[-1,1]$；
• 对数函数要求真数大于$0$；
• 反正弦函数$\arcsin x$定义域为$[-1,1]$，值域为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$；
• 复合函数的嵌套关系需逐层拆解，逐步求解。

(1) $y = \sin(\sin x)$

外层函数$\sin u$的定义域为$\mathbb{R}$，因此内层函数$\sin x$只需存在，即$x \in \mathbb{R}$。
结论：存在域为$(-\infty, +\infty)$。

(2) $y = \lg(\lg x)$

1. 内层函数$\lg x$存在：$x > 0$；
2. 外层函数$\lg u$要求$u > 0$，即$\lg x > 0$，解得$x > 1$。
   结论：存在域为$(1, +\infty)$。

(3) $y = \arcsin\left(\lg \dfrac{x}{10}\right)$

1. 内层函数$\lg \dfrac{x}{10}$存在：$\dfrac{x}{10} > 0 \Rightarrow x > 0$；
2. 外层函数$\arcsin u$要求$u \in [-1, 1]$，即：
   $-1 \leq \lg \dfrac{x}{10} \leq 1.$
3. 解不等式：
   • $\lg \dfrac{x}{10} \geq -1 \Rightarrow \dfrac{x}{10} \geq 10^{-1} \Rightarrow x \geq 1$；
   • $\lg \dfrac{x}{10} \leq 1 \Rightarrow \dfrac{x}{10} \leq 10^1 \Rightarrow x \leq 100$。
     结论：存在域为$[1, 100]$。

(4) $y = \lg\left(\arcsin \dfrac{x}{10}\right)$

1. 内层函数$\arcsin \dfrac{x}{10}$存在：$\dfrac{x}{10} \in [-1, 1] \Rightarrow x \in [-10, 10]$；
2. 外层函数$\lg u$要求$u > 0$，即$\arcsin \dfrac{x}{10} > 0$。
   • $\arcsin t > 0$当且仅当$t \in (0, 1]$，因此$\dfrac{x}{10} \in (0, 1] \Rightarrow x \in (0, 10]$。
     结论：存在域为$(0, 10]$。