题目
19、单选 lim _(xarrow 0)dfrac (ln cos 2x)(ln cos 3x)=-|||-(4分)-|||-A 1-|||-B) dfrac (4)(9)-|||-C dfrac (2)(3)-|||-D dfrac (9)(4)
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用等价无穷小替换
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\cos x$ 可以用 $1 - \dfrac{x^2}{2}$ 来近似，因此 $\cos 2x$ 和 $\cos 3x$ 可以分别近似为 $1 - \dfrac{(2x)^2}{2}$ 和 $1 - \dfrac{(3x)^2}{2}$。同时，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$ 可以用 $x$ 来近似。因此，$\ln \cos 2x$ 和 $\ln \cos 3x$ 可以分别近似为 $\ln(1 - \dfrac{(2x)^2}{2})$ 和 $\ln(1 - \dfrac{(3x)^2}{2})$，进一步近似为 $-\dfrac{(2x)^2}{2}$ 和 $-\dfrac{(3x)^2}{2}$。
步骤 2：代入等价无穷小
将 $\ln \cos 2x$ 和 $\ln \cos 3x$ 的近似值代入原极限表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac{(2x)^2}{2}}{-\dfrac{(3x)^2}{2}}$。
步骤 3：简化表达式
简化上述表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(2x)^2}{(3x)^2} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x^2}{9x^2} = \dfrac {4}{9}$。
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\cos x$ 可以用 $1 - \dfrac{x^2}{2}$ 来近似，因此 $\cos 2x$ 和 $\cos 3x$ 可以分别近似为 $1 - \dfrac{(2x)^2}{2}$ 和 $1 - \dfrac{(3x)^2}{2}$。同时，当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$\ln(1+x)$ 可以用 $x$ 来近似。因此，$\ln \cos 2x$ 和 $\ln \cos 3x$ 可以分别近似为 $\ln(1 - \dfrac{(2x)^2}{2})$ 和 $\ln(1 - \dfrac{(3x)^2}{2})$，进一步近似为 $-\dfrac{(2x)^2}{2}$ 和 $-\dfrac{(3x)^2}{2}$。
步骤 2：代入等价无穷小
将 $\ln \cos 2x$ 和 $\ln \cos 3x$ 的近似值代入原极限表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {-\dfrac{(2x)^2}{2}}{-\dfrac{(3x)^2}{2}}$。
步骤 3：简化表达式
简化上述表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {(2x)^2}{(3x)^2} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {4x^2}{9x^2} = \dfrac {4}{9}$。