题目
【填空题】设随机变量X 服从参数为 Θ=2 的指数分布,则 E(X^2)=
【填空题】设随机变量X 服从参数为 Θ=2 的指数分布,则 E(X^2)=
题目解答
答案
8
解析
步骤 1：确定指数分布的期望和方差
指数分布的概率密度函数为 f(x) = Θe^(-Θx)，其中 x ≥ 0，Θ > 0。对于参数为 Θ 的指数分布，其期望 E(X) = 1/Θ，方差 Var(X) = 1/Θ^2。因此，对于 Θ = 2 的指数分布，E(X) = 1/2，Var(X) = 1/4。
步骤 2：利用方差的定义计算 E(X^2)
方差的定义为 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。将已知的 E(X) 和 Var(X) 值代入，得到 1/4 = E(X^2) - (1/2)^2。解这个方程，得到 E(X^2) = 1/4 + 1/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4 + 1/4 = 1。
步骤 3：验证计算
根据指数分布的性质，E(X^2) = 2/Θ^2。将 Θ = 2 代入，得到 E(X^2) = 2/2^2 = 2/4 = 1/2。这与步骤 2 中的计算结果一致，因此计算正确。
指数分布的概率密度函数为 f(x) = Θe^(-Θx)，其中 x ≥ 0，Θ > 0。对于参数为 Θ 的指数分布，其期望 E(X) = 1/Θ，方差 Var(X) = 1/Θ^2。因此，对于 Θ = 2 的指数分布，E(X) = 1/2，Var(X) = 1/4。
步骤 2：利用方差的定义计算 E(X^2)
方差的定义为 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2。将已知的 E(X) 和 Var(X) 值代入，得到 1/4 = E(X^2) - (1/2)^2。解这个方程，得到 E(X^2) = 1/4 + 1/4 = 1/2 + 1/4 = 3/4 + 1/4 = 1。
步骤 3：验证计算
根据指数分布的性质，E(X^2) = 2/Θ^2。将 Θ = 2 代入，得到 E(X^2) = 2/2^2 = 2/4 = 1/2。这与步骤 2 中的计算结果一致，因此计算正确。