题目

1.计算下列积分:-|||-(1) (int xy+(z)^2)dxdydz ,其中 =[ -2,5] times [ -3,3] times [ 0,1] ;-|||-(2) iint xcos ycos xdxdydz ,其中 =[ 0,1] times [ 0,dfrac (pi )(2)] times [ 0,dfrac (pi )(2)] ;-|||-(3) iint dfrac (dxdydz)({(1+x+y+z))^3} ,其中V是由 x+y+z=1 与三个坐标面所围成的区域;-|||-(4) iint cos (x+z)dxdydz 其中V是由 =sqrt (x) y=0 z=0 及 +z=dfrac (pi )(2) 所围成的区域.

题目解答

答案

解析

题目考察知识

本题主要考察三重积分的计算，核心是利用三重积分的可分离变量性、累次积分的计算方法，以及根据积分区域的特点选择合适的积分顺序。

各题详细解析

(1) 计算$\iiint_V (xy + z^2)dxdydz$，其中$V=[-2,5]\times[-3,3]\times[0,1]$

解题思路：积分区域为长方体，可分离变量，将三重积分拆为三个定积分的乘积或和。
计算过程：
三重积分可拆为：
$\iiint_V (xy + z^2)dxdydz = \iiint_V xydxdydz + \iiint_V z^2dxdydz$

  • 第一项$\iiint_V xydxdydz$：
    由于$x,y,z$独立，可分离为：
    $\left(\int_{-2}^5 xdx\right)\left(\int_{-3}^3 ydy\right)\left(\int_0^1 dz\right)$
    其中$\int_{-3}^3 ydy = 0$（奇函数在对称区间积分），故第一项为$0$。

  • 第二项$\iiint_V z^2dxdydz$：
    分离变量：
    $\left(\int_{-2}^5 dx\right)\left(\int_{-3}^3 dy\right)\left(\int_0^1 z^2dz\right)$
    计算得：
    $\int_{-2}^5 dx = 7,\ \int_{-3}^3 dy = 6,\ \int_0^1 z^2dz = \frac{1}{3}$
    乘积为$7\times6\times\frac{1}{3}=14$。

结果：$14$。

(2) 计算$\iiint_V x\cos y\cos z dxdydz$，其中$V=[0,1]\times[0,\frac{\pi}{2}]\times[0,\frac{\pi}{2}]$

解题思路：积分区域为长方体，分离变量为三个定积分的乘积。
计算过程：
$\iiint_V x\cos y\cos z dxdydz = \left(\int_0^1 xdx\right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ydy\right)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos zdz\right)$

  • $\int_0^1 xdx = \frac{1}{2}$
  • $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos ydy = 1$
  • $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos zdz = 1$

结果：$\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2}$。

(3) 计算$\iiint_V \frac{dxdydz}{(1+x+y+z)^3}$，其中$V$由$x+y+z=1$与三个坐标面围成

解题思路：积分区域为四面体，$x\geq0,y\geq0,z\geq0,x+y+z\leq1$，按$z\to y\to x$顺序积分。
计算过程：

  • 内层积分（对$z$）：$z\in[0,1-x-y]$
    $\int_0^{1-x-y} \frac{dz}{(1+x+y+z)^3} = \left[-\frac{1}{2(1+x+y+z)^2}\right]_0^{1-x-y} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac{1}{4}\right)$

  • 中层积分（对$y$）：$y\in[0,1-x]$
    $\frac{1}{2}\int_0^{1-x} \left(\frac{1}{(1+x+y)^2} - \frac{1}{4}\right)dy = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1+x} - \frac{1}{2} - \frac{1-x}{4}\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{3x}{4} - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}\right)$

  • 外层积分（对$x$）：$x\in[0,1]$
    $\frac{1}{2}\int_0^1 \left(\frac{3x}{4} - \frac{x^2}{4} + \frac{1}{4}\right)dx = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{8} - \frac{1}{12} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\left(\ln2 - \frac{5}{8}\right)$

结果：$\frac{1}{2}\left(\ln2 - \frac{5}{8}\right)$。

(4) 计算$\iiint_V \cos(x+z)dxdydz$，其中$V$由$y=\sqrt{x},y=0,z=0,x+z=\frac{\pi}{2}$围成

解题思路：积分区域$x\geq0,y\in[0,\sqrt{x}],z\in[0,\frac{\pi}{2}-x]$，按$y\to z\to x$顺序积分。
计算过程：

  • 内层积分（对$y$）：$y\in[0,\sqrt{x}]$
    $\int_0^{\sqrt{x}} dy = \sqrt{x}$

  • 中层积分（对$z$）：$z\in[0,\frac{\pi}{2}-x]$
    $\int_0^{\frac{\pi}{2}-x} \cos(x+z)dz = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin x = 1 - \sin x$

  • 外层积分（对$x$）：$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$
    $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{x}(1 - \sin x)dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{x}dx - \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{x}\sin xdx$

    • $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{x}dx = \frac{2}{3}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{\frac{3}{2}} = \frac{\pi^2}{12}$
    • $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{x}\sin xdx = \left[-\sqrt{x}\cos x + \frac{1}{2}\sqrt{x}\sin x + \frac{1}{4}\text{Si}(2\sqrt{x})\right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \$（分部积分）$\frac{1}{2}$

结果：$\frac{\pi^2}{16} - \frac{1}{2}$。