题目
(4)曲线 =xarctan x 的凹凸性是 () ;-|||-A.在 (-infty ,+infty ) 是凸的-|||-B.在 (-infty ,0) 是凸的,在 (0,+infty ) 是凹的-|||-C.在 (-infty ,+infty ) 是凹的-|||-D.在 (-infty ,0) 是凹的,在 (0,+infty ) 是凸的
题目解答
答案
解析
步骤 1：求一阶导数
首先，我们求出函数 $y=x\arctan x$ 的一阶导数。使用乘积法则，我们得到：
$$
y' = \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}
$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们求出函数的二阶导数。对一阶导数求导，我们得到：
$$
y'' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 + 1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{(1+x^2)^2}
$$
步骤 3：分析二阶导数的符号
二阶导数 $y'' = \frac{2}{(1+x^2)^2}$ 在整个实数域上都是正的，因为分母 $(1+x^2)^2$ 总是正的，分子 2 也是正的。因此，$y'' > 0$ 对于所有的 $x$ 都成立。
首先，我们求出函数 $y=x\arctan x$ 的一阶导数。使用乘积法则，我们得到：
$$
y' = \arctan x + x \cdot \frac{1}{1+x^2} = \arctan x + \frac{x}{1+x^2}
$$
步骤 2：求二阶导数
接下来，我们求出函数的二阶导数。对一阶导数求导，我们得到：
$$
y'' = \frac{1}{1+x^2} + \frac{(1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{1-x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2 + 1 - x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2}{(1+x^2)^2}
$$
步骤 3：分析二阶导数的符号
二阶导数 $y'' = \frac{2}{(1+x^2)^2}$ 在整个实数域上都是正的，因为分母 $(1+x^2)^2$ 总是正的，分子 2 也是正的。因此，$y'' > 0$ 对于所有的 $x$ 都成立。