[题目]证明:当 geqslant 0 时, (x)^n-1-(n-1)(x)^nleqslant 1,-|||-(正整数 gt 1 ).

考查要点：本题主要考查利用导数研究函数的最值来证明不等式，需要学生掌握函数构造、导数求解及极值分析的能力。

解题核心思路：

1. 构造辅助函数：将不等式整理为函数形式，便于分析其单调性和极值。
2. 求导分析单调性：通过导数确定函数的增减区间，找到极大值点。
3. 验证最大值：通过极值点代入原函数，证明函数值不超过目标值。

破题关键点：

• 正确构造函数：将不等式转化为函数形式，例如 $f(x) = n x^{n-1} - (n-1)x^n -1$。
• 导数符号分析：通过导数 $f'(x)$ 的符号变化确定函数的单调性，找到极大值点 $x=1$。
• 极值计算：验证 $x=1$ 处的函数值为 $0$，从而证明原不等式成立。

构造辅助函数
将原不等式 $n x^{n-1} -1 - (n-1)x^n \leq 1$ 整理为：
$f(x) = n x^{n-1} - (n-1)x^n -1$

求导分析单调性
对 $f(x)$ 求导：
$f'(x) = n(n-1)x^{n-2} - (n-1)n x^{n-1} = n(n-1)x^{n-2}(1 - x)$

确定极值点
令 $f'(x) = 0$，解得 $x=0$ 或 $x=1$。

• 当 $0 < x < 1$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；
• 当 $x > 1$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。
  因此，$x=1$ 是函数的极大值点。

验证最大值
将 $x=1$ 代入 $f(x)$：
$f(1) = n \cdot 1^{n-1} - (n-1) \cdot 1^n -1 = n - (n-1) -1 = 0$
故 $f(x) \leq 0$，即原不等式成立。