题目
设(x)f有二阶连续导数且(x)f,(x)f,求(x)f,使得(x)f
设
有二阶连续导数且
,
,求
,使得
题目解答
答案
根据全微分的性质有
和
考虑到后者不含有
,对其积分有
其中，
是不含的函数表达式
再对对
求偏导可得
观察对比左右系数可得
,这说明
是一个不含
的常数
以及
这是一个欧拉方程，其通解为
,带入题给数据
解得
故
,再带入到上式
有
,其中是与均无关的常数
解析
步骤 1：确定全微分的性质
根据全微分的性质，我们有：
$\dfrac {\partial u}{\partial x}=-6yf(x)$
$\dfrac {\partial u}{\partial y}={x}^{2}f(x)-4xf(x)$
步骤 2：对y求偏导并积分
考虑到$\dfrac {\partial u}{\partial y}={x}^{2}f(x)-4xf(x)$不含有x，对其积分有：
$f(x,y)=({x}^{2}f(x)-4xf(x))y+C(x)$
其中，$C(x)$是不含y的函数表达式。
步骤 3：对x求偏导并对比系数
再对$f(x,y)$对x求偏导可得：
${(2xy)}^{(1)}(x)+{x}^{2}{y}^{3}(x)-45(x)-4x{y}^{(11)}(x)y=\dfrac {d}{dx}(|x|)=-6xy|(x)$
观察对比左右系数可得：
$\dfrac {d}{dx}C(x)=0$，这说明$C(x)$是一个不含x,y的常数。
以及：
${x}^{2}f(x)-2x{f}^{(1)}(x)+2f(x)=0$
这是一个欧拉方程，其通解为：
$f(x)=Ax+B{x}^{2}$
带入题给数据：
$f(1)=A+B=1$
$f(1)=A+2B=2$
解得：
$B=1, A=0$
故：
$f(x)={x}^{2}$
再带入到上式：
$f(x,y)=-2{x}^{3}y+C$
其中，C是与x,y均无关的常数。
根据全微分的性质，我们有：
$\dfrac {\partial u}{\partial x}=-6yf(x)$
$\dfrac {\partial u}{\partial y}={x}^{2}f(x)-4xf(x)$
步骤 2：对y求偏导并积分
考虑到$\dfrac {\partial u}{\partial y}={x}^{2}f(x)-4xf(x)$不含有x，对其积分有：
$f(x,y)=({x}^{2}f(x)-4xf(x))y+C(x)$
其中，$C(x)$是不含y的函数表达式。
步骤 3：对x求偏导并对比系数
再对$f(x,y)$对x求偏导可得：
${(2xy)}^{(1)}(x)+{x}^{2}{y}^{3}(x)-45(x)-4x{y}^{(11)}(x)y=\dfrac {d}{dx}(|x|)=-6xy|(x)$
观察对比左右系数可得：
$\dfrac {d}{dx}C(x)=0$，这说明$C(x)$是一个不含x,y的常数。
以及：
${x}^{2}f(x)-2x{f}^{(1)}(x)+2f(x)=0$
这是一个欧拉方程，其通解为：
$f(x)=Ax+B{x}^{2}$
带入题给数据：
$f(1)=A+B=1$
$f(1)=A+2B=2$
解得：
$B=1, A=0$
故：
$f(x)={x}^{2}$
再带入到上式：
$f(x,y)=-2{x}^{3}y+C$
其中，C是与x,y均无关的常数。