题目

函数y(x)是微分方程y"-3y'+3y'-y=0的解，且y(x)在点(0,0)的曲率圆为(x-1)^2+(y-1)^2=2，则y(x)=____.

函数y(x)是微分方程y"-3y'+3y'-y=0的解，且y(x)在点(0,0)的曲率圆为$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}=2$，则y(x)=____.

题目解答

答案

微分方程 $y''' - 3y'' + 3y' - y = 0$ 的特征根为 $\lambda = 1$（三重根），通解为：
$y(x) = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2)e^x.$
由 $y(0) = 0$ 得 $C_1 = 0$，故：
$y(x) = (C_2 x + C_3 x^2)e^x.$
曲率圆方程为 $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$，曲率 $k = \frac{1}{\sqrt{2}}$。计算得：
$k = \frac{|C_2 + 2C_3|}{(1 + C_2^2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$
由曲率圆圆心 $(1,1)$，得：
$\frac{2}{C_2 + 2C_3 - 1} = 1 \Rightarrow C_2 + 2C_3 = 3.$
解得 $C_2 = -1$，$C_3 = 2$。
答案： $\boxed{(-x + 2x^2)e^x}$

解析

本题主要考查常系数线性齐次微分方程的求解以及曲率圆的相关知识。解题的关键思路是先求出微分方程的通解，再利用给定的初始条件和曲率圆的性质来确定通解中的常数。

  1. 求解微分方程的通解：
    • 对于给定的微分方程$y'''-3y'' + 3y' - y = 0$，其特征方程为$\lambda^{3}-3\lambda^{2}+3\lambda - 1 = 0$。
    • 根据完全立方公式$(a - b)^3=a^3-3a^2b + 3ab^2-b^3$，可将特征方程变形为$(\lambda - 1)^{3}=0$。
    • 解得特征根$\lambda = 1$（三重根）。
    • 当特征方程有三重根$\lambda$时，常系数线性齐次微分方程的通解形式为$y(x)=(C_1 + C_2x + C_3x^{2})e^{\lambda x}$，所以该微分方程的通解为$y(x)=(C_1 + C_2x + C_3x^{2})e^{x}$。
  2. 利用初始条件确定$C_1$的值：
    • 已知$y(x)$过点$(0,0)$，即$y(0)=0$。
    • 将$x = 0$，$y = 0$代入通解$y(x)=(C_1 + C_2x + C_3x^{2})e^{x}$中，得到$y(0)=(C_1 + C_2\times0 + C_3\times0^{2})e^{0}=C_1$。
    • 因为$y(0)=0$，所以$C_1 = 0$，此时通解变为$y(x)=(C_2x + C_3x^{2})e^{x}$。
  3. 求$y(x)$的一阶导数$y'$和二阶导数$y''$：
    • 根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，对$y(x)=(C_2x + C_3x^{2})e^{x}$求导。
    • 令$u = C_2x + C_3x^{2}$，$v = e^{x}$，则$u^\prime = C_2 + 2C_3x$，$v^\prime = e^{x}$。
    • 所以$y^\prime=(C_2 + 2C_3x)e^{x}+(C_2x + C_3x^{2})e^{x}=(C_2 + C_2x + 2C_3x + C_3x^{2})e^{x}=(C_2+(C_2 + 2C_3)x + C_3x^{2})e^{x}$。
    • 再对$y^\prime$求导，同样根据乘积的求导法则，令$u = C_2+(C_2 + 2C_3)x + C_3x^{2}$，$v = e^{x}$，则$u^\prime = C_2 + 2C_3+2C_3x$，$v^\prime = e^{x}$。
    • 所以$y''=(C_2 + 2C_3+2C_3x)e^{x}+(C_2+(C_2 + 2C_3)x + C_3x^{2})e^{x}=(2C_2 + 2C_3+(2C_2 + 4C_3)x + C_3x^{2})e^{x}$。
  4. 计算$x = 0$处的$y'$和$y''$：
    • 将$x = 0$代入$y^\prime=(C_2+(C_2 + 2C_3)x + C_3x^{2})e^{x}$中，得到$y^\prime(0)=(C_2+(C_2 + 2C_3)\times0 + C_3\times0^{2})e^{0}=C_2$。
    • 将$x = 0$代入$y''=(2C_2 + 2C_3+(2C_2 + 4C_3)x + C_3x^{2})e^{x}$中，得到$y''(0)=(2C_2 + 2C_3+(2C_2 + 4C_3)\times0 + C_3\times0^{2})e^{0}=2C_2 + 2C_3$。
  5. 根据曲率圆的性质确定$C_2$和$C_3$的值：
    • 曲线$y = y(x)$在点$(x,y)$处的曲率公式为$k=\frac{|y''|}{(1 + y'^{2})^{\frac{3}{2}}}$。
    • 已知曲率圆方程为$(x - 1)^{2}+(y - 1)^{2}=2$，其半径$R=\sqrt{2}$，根据曲率$k=\frac{1}{R}$，可得$k=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
    • 所以$k=\frac{|y''(0)|}{(1 + y'^{2}(0))^{\frac{3}{2}}}=\frac{|2C_2 + 2C_3|}{(1 + C_2^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
    • 又因为曲率圆圆心$(1,1)$，曲线$y = y(x)$在点$(x,y)$处的曲率中心坐标公式为$x_0=x-\frac{y'(1 + y'^{2})}{y''}$，$y_0=y+\frac{1 + y'^{2}}{y''}$。
    • 当$x = 0$，$y = 0$时，$x_0=0-\frac{y'(0)(1 + y'^{2}(0))}{y''(0)}=1$，$y_0=0+\frac{1 + y'^{2}(0)}{y''(0)}=1$。
    • 由$y_0 = 1$可得$\frac{1 + C_2^{2}}{2C_2 + 2C_3}=1$，即$1 + C_2^{2}=2C_2 + 2C_3$，变形为$\frac{2}{2C_2 + 2C_3 - 1}=1$，解得$2C_2 + 2C_3=3$。
    • 将$2C_2 + 2C_3=3$代入$\frac{|2C_2 + 2C_3|}{(1 + C_2^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$中，得到$\frac{3}{(1 + C_2^{2})^{\frac{3}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$(1 + C_2^{2})^{\frac{3}{2}} = 3\sqrt{2}$，两边同时平方可得$(1 + C_2^{2})^{3}=18$，$1 + C_2^{2}= \sqrt[3]{18}$，解得$C_2=-1$。
    • 将$C_2=-1$代入$2C_2 + 2C_3=3$中，可得$-2 + 2C_3=3$，解得$C_3 = 2$。
  6. 得到$y(x)$的表达式：
    • 将$C_2=-1$，$C_3 = 2$代入\步骤y(x)=(C_2x + C_3x^{2})e^{x}]中，得到$y(x)=(-x + 2x^{2})e^{x}$。