函数= sin x的导数为= sin x

步骤 1：定义导数
导数是函数在某一点处的变化率，表示函数在该点的瞬时变化率。对于函数 \( f(x) \)，其在点 \( x \) 处的导数 \( f'(x) \) 定义为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]

步骤 2：应用导数定义到 \( \sin x \)
对于函数 \( f(x) = \sin x \)，其导数 \( f'(x) \) 可以通过导数的定义来计算：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} \]

步骤 3：使用三角恒等式
利用三角恒等式 \( \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h \)，代入上式：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} \]
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x (\cos h - 1) + \cos x \sin h}{h} \]
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \sin x \frac{\cos h - 1}{h} + \cos x \frac{\sin h}{h} \right) \]

步骤 4：计算极限
我们知道，当 \( h \to 0 \) 时，\( \frac{\cos h - 1}{h} \to 0 \) 和 \( \frac{\sin h}{h} \to 1 \)，因此：
\[ f'(x) = \sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 \]
\[ f'(x) = \cos x \]