1.已知 sin (3x-2y+z)=3x-2y+z, 则 dfrac ({partial )^2z}(partial xpartial y)= __

步骤 1：定义函数
设 $F(x,y,z) = 2\sin (3x-2y+z) - (3x-2y+z)$，则题目条件可以表示为 $F(x,y,z) = 0$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F$ 对 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：
- ${F}_{x} = 6\cos (3x-2y+z) - 3$
- ${F}_{y} = -4\cos (3x-2y+z) + 2$
- ${F}_{z} = 2\cos (3x-2y+z) - 1$
步骤 3：利用隐函数求导公式
根据隐函数求导公式，有 $\dfrac {\partial z}{\partial x} = -\dfrac {{F}_{x}}{{F}_{z}}$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y} = -\dfrac {{F}_{y}}{{F}_{z}}$。
步骤 4：计算二阶偏导数
计算 $\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}$，即先对 $x$ 求偏导，再对 $y$ 求偏导：
- $\dfrac {\partial z}{\partial x} = -\dfrac {{F}_{x}}{{F}_{z}} = -\dfrac {6\cos (3x-2y+z) - 3}{2\cos (3x-2y+z) - 1}$
- $\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y} = \dfrac {\partial }{\partial y} \left( -\dfrac {{F}_{x}}{{F}_{z}} \right)$
步骤 5：简化表达式
由于题目条件 $2\sin (3x-2y+z) = 3x-2y+z$，可以推导出 $\cos (3x-2y+z) = 1$，因此：
- ${F}_{x} = 6\cos (3x-2y+z) - 3 = 6 - 3 = 3$
- ${F}_{y} = -4\cos (3x-2y+z) + 2 = -4 + 2 = -2$
- ${F}_{z} = 2\cos (3x-2y+z) - 1 = 2 - 1 = 1$
- $\dfrac {\partial z}{\partial x} = -\dfrac {{F}_{x}}{{F}_{z}} = -\dfrac {3}{1} = -3$
- $\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y} = \dfrac {\partial }{\partial y} \left( -3 \right) = 0$