题目
已设二维随机变量(X,Y)在矩形区域D=((x,y)|https:/img.zuoyebang.cc/zyb_9d6f6abc8cbf781530ed113e8d700b1f.jpgleqslant xleqslant 2,0leqslant yleqslant 2)上服从均匀分布，求 （1）P(https:/img.zuoyebang.cc/zyb_e5fd2f5ff5c644ddf5b4ff1984a982cb.jpgleqslant xleqslant 2,0leqslant yleqslant 2) （2）P(https:/img.zuoyebang.cc/zyb_68dacdd07187e1a99f205cb8dc1bfd13.jpgleqslant xleqslant 2,0leqslant yleqslant 2) （3）Z=max(X,Y)的概率密度。
已设二维随机变量(X,Y)在矩形区域D={(x,y)|
}上服从均匀分布，求
（1）P{
}
（2）P{
}
（3）Z=max{X,Y}的概率密度。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定(X,Y)的联合概率密度函数
二维随机变量(X,Y)在矩形区域D={(x,y)|$1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2$}上服从均匀分布，因此其联合概率密度函数为：
$$
f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2,\\ 0,\end{matrix} \right.
$$
步骤 2：计算P{$X\geqslant 1$ $Y\geqslant 1$}
在均匀分布的条件下，概率 $P(X\geqslant 1,Y\geqslant 1)$ 等于该事件所在区域与正概率区域所占比例。由直观知 $P\{ X\geqslant 1,Y\geqslant 1\} =\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：计算P{$X\geqslant 1|Y\geqslant 1$}
在条件 $Y\geqslant 1$ 下，事件 $\{ x\geqslant 1\} $ 所在区域恰好将该条件下正概率区域覆盖，因此 $P(X\geqslant 1|Y\geqslant 1)=1$。
步骤 4：求Z=max{X,Y}的概率密度
求 $Z=max\{ X,Y\} $ 的概率密度，先求 $Z=max\{ X,Y\} $ 分布函数，于是 $G(z)=P'(Z\leqslant z)=P'mox(X,Y)=P'X(X\leqslant \therefore Y\leqslant 2)={|}^{2}$ dx ∫f(x,y)dy. 当 $x\lt 1$ 时 $G(z)=0$; 当 $1\leqslant x\lt 2$ 时 $G(z)={\int }_{1}^{x}dx{\int }_{0}^{x}\dfrac {1}{2}dy=\dfrac {1}{2}z(z-1)$ 当 2≤z 时 $G(z)=1$， $\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\lt 1,\\ \dfrac {1}{2}z(x-1),\quad 1\leqslant x\lt 2\\ 1,\quad 2\leqslant x,\end{matrix} \right.$ $g(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} x-\dfrac {1}{2},\quad 1\lt x\lt 2\\ 0,\end{matrix} \right.$
二维随机变量(X,Y)在矩形区域D={(x,y)|$1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2$}上服从均匀分布，因此其联合概率密度函数为：
$$
f(x,y)=\left \{ \begin{matrix} \dfrac {1}{2},1\leqslant x\leqslant 2,0\leqslant y\leqslant 2,\\ 0,\end{matrix} \right.
$$
步骤 2：计算P{$X\geqslant 1$ $Y\geqslant 1$}
在均匀分布的条件下，概率 $P(X\geqslant 1,Y\geqslant 1)$ 等于该事件所在区域与正概率区域所占比例。由直观知 $P\{ X\geqslant 1,Y\geqslant 1\} =\dfrac {1}{2}$。
步骤 3：计算P{$X\geqslant 1|Y\geqslant 1$}
在条件 $Y\geqslant 1$ 下，事件 $\{ x\geqslant 1\} $ 所在区域恰好将该条件下正概率区域覆盖，因此 $P(X\geqslant 1|Y\geqslant 1)=1$。
步骤 4：求Z=max{X,Y}的概率密度
求 $Z=max\{ X,Y\} $ 的概率密度，先求 $Z=max\{ X,Y\} $ 分布函数，于是 $G(z)=P'(Z\leqslant z)=P'mox(X,Y)=P'X(X\leqslant \therefore Y\leqslant 2)={|}^{2}$ dx ∫f(x,y)dy. 当 $x\lt 1$ 时 $G(z)=0$; 当 $1\leqslant x\lt 2$ 时 $G(z)={\int }_{1}^{x}dx{\int }_{0}^{x}\dfrac {1}{2}dy=\dfrac {1}{2}z(z-1)$ 当 2≤z 时 $G(z)=1$， $\left \{ \begin{matrix} 0,\quad x\lt 1,\\ \dfrac {1}{2}z(x-1),\quad 1\leqslant x\lt 2\\ 1,\quad 2\leqslant x,\end{matrix} \right.$ $g(x)=$ $\left \{ \begin{matrix} x-\dfrac {1}{2},\quad 1\lt x\lt 2\\ 0,\end{matrix} \right.$