题目
(6) (int )_(0)^dfrac (pi {2)}(sin )^2xcos xdx;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分变量
观察积分 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{\sin }^{2}x\cos xdx$，注意到 $\cos x$ 是 $\sin x$ 的导数，因此可以考虑将 $\sin x$ 作为新的积分变量。
步骤 2：变量替换
设 $u = \sin x$，则 $du = \cos x dx$。当 $x = 0$ 时，$u = \sin 0 = 0$；当 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 时，$u = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1$。因此，原积分可以写为 ${\int }_{0}^{1}u^{2}du$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}u^{2}du$，得到 $\dfrac{u^{3}}{3}{\int }_{0}^{1} = \dfrac{1^{3}}{3} - \dfrac{0^{3}}{3} = \dfrac{1}{3}$。
观察积分 ${\int }_{0}^{\dfrac {\pi }{2}}{\sin }^{2}x\cos xdx$，注意到 $\cos x$ 是 $\sin x$ 的导数，因此可以考虑将 $\sin x$ 作为新的积分变量。
步骤 2：变量替换
设 $u = \sin x$，则 $du = \cos x dx$。当 $x = 0$ 时，$u = \sin 0 = 0$；当 $x = \dfrac{\pi}{2}$ 时，$u = \sin \dfrac{\pi}{2} = 1$。因此，原积分可以写为 ${\int }_{0}^{1}u^{2}du$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{0}^{1}u^{2}du$，得到 $\dfrac{u^{3}}{3}{\int }_{0}^{1} = \dfrac{1^{3}}{3} - \dfrac{0^{3}}{3} = \dfrac{1}{3}$。