题目
3.设二维随机变量(X,Y)在区域D=(x,y)|xgeq0,ygeq0,x+yleq1上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度函数。
3.设二维随机变量(X,Y)在区域$D=\{(x,y)|x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度函数。
题目解答
答案
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 1\}$ 上服从均匀分布。
1. **联合概率密度**：
$f(x, y) = \begin{cases} 2 & (x, y) \in D \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
2. **卷积公式**：
$f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx$
当 $0 \leq z \leq 1$ 时，积分范围为 $0 \leq x \leq z$，
$f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2 \, dx = 2z$。
3. **结果**：
$f_Z(z) = \begin{cases} 2z & 0 \leq z \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$
**答案**：
\[
\boxed{
\begin{cases}
2z & 0 \leq z \leq 1 \\
0 & \text{其他}
\end{cases}
}
\]
解析
步骤 1：确定联合概率密度函数
由于二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 1\}$ 上服从均匀分布，我们需要确定其联合概率密度函数。区域 $D$ 的面积为 $\frac{1}{2}$，因此联合概率密度函数为：
\[ f(x, y) = \begin{cases} 2 & (x, y) \in D \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：使用卷积公式求Z的概率密度函数
根据卷积公式，$Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可以通过以下积分求得：
\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx \]
由于 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 外为0，因此积分范围为 $0 \leq x \leq z$，且 $z \leq 1$。因此，当 $0 \leq z \leq 1$ 时，有：
\[ f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2 \, dx = 2z \]
步骤 3：确定Z的概率密度函数
根据步骤2的计算结果，$Z = X + Y$ 的概率密度函数为：
\[ f_Z(z) = \begin{cases} 2z & 0 \leq z \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
由于二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D = \{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0, x + y \leq 1\}$ 上服从均匀分布，我们需要确定其联合概率密度函数。区域 $D$ 的面积为 $\frac{1}{2}$，因此联合概率密度函数为：
\[ f(x, y) = \begin{cases} 2 & (x, y) \in D \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]
步骤 2：使用卷积公式求Z的概率密度函数
根据卷积公式，$Z = X + Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$ 可以通过以下积分求得：
\[ f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, z-x) \, dx \]
由于 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 外为0，因此积分范围为 $0 \leq x \leq z$，且 $z \leq 1$。因此，当 $0 \leq z \leq 1$ 时，有：
\[ f_Z(z) = \int_{0}^{z} 2 \, dx = 2z \]
步骤 3：确定Z的概率密度函数
根据步骤2的计算结果，$Z = X + Y$ 的概率密度函数为：
\[ f_Z(z) = \begin{cases} 2z & 0 \leq z \leq 1 \\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]