【例3】 讨论曲线 =x+dfrac (x)({x)^2-1} 的凹凸性及拐点.

本题考查曲线凹凸性及拐点的知识，解题思路是先求出函数的一阶导数和二阶导数，再令二阶导数为零求出可能的拐点横坐标，最后根据二阶导数的正负判断曲线的凹凸性。

1. 求一阶导数：
   已知函数$y = x+\dfrac{x}{x^{2}-1}$，根据求导公式$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，$(x)^\prime = 1$，对$\dfrac{x}{x^{2}-1}$求导，根据除法求导公式$(\dfrac{u}{v})^\prime=\dfrac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$，其中$u = x$，$u^\prime = 1$，$v = x^{2}-1$，$v^\prime = 2x$，可得：
   $y^\prime=1+\dfrac{(x^{2}-1)-x(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}=1+\dfrac{-x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}}$

2. 求二阶导数：
   对$y^\prime=1+\dfrac{-x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}}$求导，根据加法求导公式$(u+v)^\prime=u^\prime+v^\prime$，$(1)^\prime = 0$，对$\dfrac{-x^{2}-1}{(x^{2}-1)^{2}}$求导，根据除法求导公式$(\dfrac{u}{v})^\prime=\dfrac{u^\prime v - uv^\prime}{v^{2}}$，其中$u = -x^{2}-1$，$u^\prime = -2x$，$v = (x^{2}-1)^{2}$，$v^\prime = 2(x^{2}-1)\cdot 2x = 4x(x^{2}-1)$，可得：
   $\begin{align*}y^{\prime\prime}&=\dfrac{(-2x)(x^{2}-1)^{2}-(-x^{2}-1)\cdot 4x(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)^{4}}\\&=\dfrac{-2x(x^{2}-1)^{2}+4x(x^{2}+1)(x^{2}-1)}{(x^{2}-1)^{4}}\\&=\dfrac{2x^{3}+6x}{(x^{2}-1)^{3}}\end{align*}$

3. 求可能的拐点横坐标：
   令$y有一个实数根\(y^{\prime\prime}=0$，即$\dfrac{2x^{3}+6x}{(x^{2}-1)^{3}} = 0$，因为分母$(x^{2}-1)^{3}\neq 0$，所以只需$2x^{3}+6x = 0$，提取公因式$2x$得$2x(x^{2}+3)=0$，因为$x^{2}+3\gt 0$恒成立，所以$2x = 0$，解得$x = 0$。

4. 判断曲线的凹凸性：
   当$-1\lt x\lt 0$或$x\gt 1$时，$2x^{3}+6x\gt 0$，即$y^{\prime\prime}(x)\gt 0$，所以曲线$y(x)$在$(-1,0)\cup (1,+\infty )$上向下凸；
   当$x\lt -1$或$0\lt x\lt 1$时，$2x^{3}+6x\lt 0$，即$y^{\prime\prime}(x)\lt 0$，所以曲线$y(x)$在$(-\infty,-1)\cup (0,1)$上向上凸。

5. 求拐点坐标：
   当$x = 0$时，$y = 0+\有一个实数根+\dfrac{0}{0^{2}-1}=0$，所以拐点坐标为$(0,0)$。