12、单选 设函数 (x)在(-infty ,+infty ) 内连续、-|||-二阶可导,且 f(x)=f(-x) 若 lt 0 时,-|||-'(x)gt 0 ''(x)lt 0 则 gt 0 时,有 ()-|||-(4分)-|||-A '(x)lt 0 ,''(x)lt 0-|||-B '(x)lt 0 ,''(x)gt 0-|||-C '(x)gt 0 ,''(x)gt 0-|||-X '(x)gt 0 ,''(x)lt 0

考查要点：本题主要考查偶函数的导数性质及二阶导数的符号判断。
解题思路：

1. 利用偶函数的导数性质：偶函数的一阶导数是奇函数，二阶导数是偶函数。
2. 符号推导：根据已知条件$x<0$时$f'(x)>0$和$f''(x)<0$，结合奇偶性推导$x>0$时的导数符号。
   关键点：

• 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数。
• 偶函数图像关于$y$轴对称，导数符号在对称区间相反或相同。

步骤1：分析一阶导数的符号

已知$f(x)$是偶函数，即$f(x)=f(-x)$，对两边求导得：
$f'(x) = -f'(-x)$
这表明$f'(x)$是奇函数。

• 当$x<0$时，$f'(x)>0$，则$x>0$时，$f'(x) = -f'(-x)$，而$-x<0$，故$f'(-x)>0$，因此$f'(x) = -f'(-x) < 0$。

步骤2：分析二阶导数的符号

对$f'(x) = -f'(-x)$再次求导，得：
$f''(x) = -f''(-x) \cdot (-1) = f''(-x)$
这表明$f''(x)$是偶函数。

• 当$x<0$时，$f''(x)<0$，则$x>0$时，$f''(x) = f''(-x) < 0$（因为$-x<0$时$f''(-x)<0$）。

结论：当$x>0$时，$f'(x)<0$且$f''(x)<0$，对应选项D。