题目

在原点解析，而在z=dfrac (1)(n)(n=1，2，…)处取下列各组值的函数是否存在： dfrac (1)(n)

在原点解析，而在z=
(n=1，2，…)处取下列各组值的函数是否存在：



题目解答

答案

(1)不存在．事实上若存在函数f(z)在z=0解析且满足f()=0(k=12…)因零点列{}以z=0为极限点故由唯一性定理知在z=0的邻域内f(z)≡0这与题设f()=1≠0矛盾．(2)不存在．事实上若存在函数f(z)在z=0解析且满足f()=0(k=12…)因零点列{}以z=0为极限点故由唯一性定理知在z=0的邻域内f(z)≡0这与题设≠0矛盾．(3)不存在．事实上若存在函数f(z)在点z=0解析且满足1以z=0为极限点故由唯一性定理知在z=0的邻域内f(z)≡z这与题设矛盾．(4)由于函数的值点列为(n=12…)．故可作函数f(z)=(n=12…)故所求符合题设条件要求即f(z)=。
(1)不存在．事实上,若存在函数f(z)在z=0解析且满足f()=0(k=1,2,…),因零点列{}以z=0为极限点,故由唯一性定理知,在z=0的邻域内f(z)≡0,这与题设f()=1≠0矛盾．(2)不存在．事实上,若存在函数f(z)在z=0解析且满足f()=0(k=1,2,…),因零点列{}以z=0为极限点,故由唯一性定理知,在z=0的邻域内f(z)≡0,这与题设≠0矛盾．(3)不存在．事实上,若存在函数f(z)在点z=0解析且满足1以z=0为极限点,故由唯一性定理知,在z=0的邻域内f(z)≡z,这与题设矛盾．(4)由于函数的值点列为(n=1,2,…)．故可作函数f(z)=(n=1,2,…),故所求符合题设条件要求,即f(z)=。

解析

步骤 1：分析函数在原点解析的条件
函数在原点解析意味着函数在原点附近可以展开成泰勒级数，且该级数在原点收敛。

步骤 2：分析函数在z=$\dfrac{1}{n}$处取值的条件
函数在z=$\dfrac{1}{n}$处取值的条件是函数在这些点处的值满足给定的序列。

步骤 3：应用唯一性定理
唯一性定理指出，如果一个函数在某个区域内解析，并且在该区域内的某个点集上取值为零，且该点集的极限点在该区域内，则该函数在该区域内恒为零。

步骤 4：分析每个选项
(1) 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...
(2) 0, $\dfrac{1}{2}$, 0, $\dfrac{1}{4}$, 0, $\dfrac{1}{6}$, ...
(3) $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{6}$, $\dfrac{1}{6}$, ...
(4) $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{5}{6}$, ...