题目

若向量组Ⅰ：_(1)=((1,1,0))^T _(2)=((0,1,1))^2和向量组Ⅱ：_(1)=((1,1,0))^T _(2)=((0,1,1))^2_(1)=((1,1,0))^T _(2)=((0,1,1))^2等价，则常数_(1)=((1,1,0))^T _(2)=((0,1,1))^2___。

若向量组Ⅰ： $a_1=(1,1,0)^T,a_2=(0,1,1)^T$ 和向量组Ⅱ： $\beta_1=(-1,0,1)^T,\beta_2=(1,2,1)^T,$ $\beta_3=(3,2,k)^T$ 等价，则常数 $k=$ ___。

题目解答

答案

设增广矩阵 $\left(A\mid B\right)$

$=\begin{pmatrix} 1&0&-1&1&3 \newline 1&1& 0&2& 2\newline 0&1&1&1& k\newline \end{pmatrix}$ ；

将第一行的-1倍加到第二行可得：

$\begin{pmatrix} 1&0&-1&1&3 \newline 0&1& 1&1& -1\newline 0&1&1&1& k\newline \end{pmatrix}$ ；

将第二行的-1倍加到第三行可得：

$\begin{pmatrix} 1&0&-1&1&3 \newline 0&1& 1&1& -1\newline 0&0&0&0& k+1\newline \end{pmatrix}$ ；

若要满足 $r\left(A\mid B\right)=r\left(A\right)=r\left(B\right)$ ，一定存在 $k+1=0$ ，故可得： $k=-1$ 。

解析

步骤 1：构造增广矩阵
构造向量组Ⅰ和向量组Ⅱ的增广矩阵$A|B$，其中$A$由向量组Ⅰ构成，$B$由向量组Ⅱ构成。
$$
A|B = \left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 2 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & k
\end{array}\right]
$$

步骤 2：进行初等行变换
将第一行的-1倍加到第二行，得到：
$$
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 1 & k
\end{array}\right]
$$
将第二行的-1倍加到第三行，得到：
$$
\left[\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & -1 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 1 & 1 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & -1 & k+1
\end{array}\right]
$$

步骤 3：判断矩阵的秩
若要满足$(A|B)=r(A)=r(B)$，则矩阵$A|B$的秩应等于$A$的秩，即$2$。因此，第三行的元素应为$0$，即$2+1=0$，从而得到$k=-1$。