题目
设函数f(x,y)=ln(y+|xsiny|)，则____A.fx(0,1)不存在，fx(0,1)存在B.fx(0,1)存在，fx(0,1)不存在C.fx(0,1)，fx(0,1)都存在D.fx(0,1)，fx(0,1)都不存在
设函数f(x,y)=ln(y+|xsiny|)，则____
A.
不存在，
存在
B.存在，不存在
C.，都存在
D.，都不存在
题目解答
答案
解：
由偏导数的定义，即得：=
；
代入，即得：=
；
由无穷小替换，即得：当△x→0时，ln(1+|△xsin1|)~|△xsin1|=sin1|△x|；
故：=
；
很明显，
=1≠-1=
，故：不存在；
同理，=
；
代入，即得：=
；
由无穷小替换，即得：当△y→0时，ln(1+△y)~△y，故：=
=1；
故：存在.
综上，不存在，存在.
答案：A
解析
步骤 1：计算偏导数fx(0,1)
根据偏导数的定义，我们有：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x, 1) - f(0, 1)}{\Delta x}
$$
代入函数f(x,y)=ln(y+|xsiny|)，得到：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(1 + |\Delta x \sin 1|) - \ln(1)}{\Delta x}
$$
简化后得到：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(1 + |\Delta x \sin 1|)}{\Delta x}
$$
步骤 2：利用无穷小替换
当$\Delta x \to 0$时，$\ln(1 + |\Delta x \sin 1|) \sim |\Delta x \sin 1| = \sin 1 |\Delta x|$
因此，我们有：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}
$$
步骤 3：判断极限是否存在
由于$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1$，而$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = -1$，所以极限不存在，即$f_x(0,1)$不存在。
步骤 4：计算偏导数${f}_{y}(0,1)$
根据偏导数的定义，我们有：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, 1 + \Delta y) - f(0, 1)}{\Delta y}
$$
代入函数f(x,y)=ln(y+|xsiny|)，得到：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\ln(1 + \Delta y) - \ln(1)}{\Delta y}
$$
简化后得到：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\ln(1 + \Delta y)}{\Delta y}
$$
步骤 5：利用无穷小替换
当$\Delta y \to 0$时，$\ln(1 + \Delta y) \sim \Delta y$
因此，我们有：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta y} = 1
$$
根据偏导数的定义，我们有：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x, 1) - f(0, 1)}{\Delta x}
$$
代入函数f(x,y)=ln(y+|xsiny|)，得到：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(1 + |\Delta x \sin 1|) - \ln(1)}{\Delta x}
$$
简化后得到：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\ln(1 + |\Delta x \sin 1|)}{\Delta x}
$$
步骤 2：利用无穷小替换
当$\Delta x \to 0$时，$\ln(1 + |\Delta x \sin 1|) \sim |\Delta x \sin 1| = \sin 1 |\Delta x|$
因此，我们有：
$$
f_x(0,1) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}
$$
步骤 3：判断极限是否存在
由于$\lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = 1$，而$\lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{|\Delta x|}{\Delta x} = -1$，所以极限不存在，即$f_x(0,1)$不存在。
步骤 4：计算偏导数${f}_{y}(0,1)$
根据偏导数的定义，我们有：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, 1 + \Delta y) - f(0, 1)}{\Delta y}
$$
代入函数f(x,y)=ln(y+|xsiny|)，得到：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\ln(1 + \Delta y) - \ln(1)}{\Delta y}
$$
简化后得到：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\ln(1 + \Delta y)}{\Delta y}
$$
步骤 5：利用无穷小替换
当$\Delta y \to 0$时，$\ln(1 + \Delta y) \sim \Delta y$
因此，我们有：
$$
{f}_{y}(0,1) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta y} = 1
$$