题目
【题目】-|||-设A是 times n 矩阵,B是 times s 矩阵,且 =0 证明B的各列向量都是齐次线性方程组 Ax=0-|||-的解。且 (A)+R(B)leqslant n.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明B的各列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解
设B的第j列向量为 $b_j$，则 $AB=0$ 可以写成 $A(b_1,b_2,...,b_s)=(0,0,...,0)$，即 $Ab_j=0$ 对于所有的 $j=1,2,...,s$。因此，B的各列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解。
步骤 2：证明 $R(A)+R(B)\leqslant n$
根据矩阵的秩的性质，$R(AB)\leqslant R(A)$ 且 $R(AB)\leqslant R(B)$。由于 $AB=0$，则 $R(AB)=0$。因此，$R(A)+R(B)\leqslant n$。
设B的第j列向量为 $b_j$，则 $AB=0$ 可以写成 $A(b_1,b_2,...,b_s)=(0,0,...,0)$，即 $Ab_j=0$ 对于所有的 $j=1,2,...,s$。因此，B的各列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解。
步骤 2：证明 $R(A)+R(B)\leqslant n$
根据矩阵的秩的性质，$R(AB)\leqslant R(A)$ 且 $R(AB)\leqslant R(B)$。由于 $AB=0$，则 $R(AB)=0$。因此，$R(A)+R(B)\leqslant n$。