题目
20 填空 (10分)设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=2)=P(X=3)，那么λ=____
20 填空 (10分)
设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=2)=P(X=3)，那么λ=____
题目解答
答案
根据泊松分布的概率质量函数 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，由 $P(X=2) = P(X=3)$ 得：
\[
\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}
\]
消去 $e^{-\lambda}$ 并化简得：
\[
\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6} \implies 3\lambda^2 = \lambda^3 \implies \lambda^2(\lambda - 3) = 0
\]
解得 $\lambda = 0$（舍去）或 $\lambda = 3$。
因此，$\lambda = \boxed{3}$。
解析
步骤 1：写出泊松分布的概率质量函数
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是随机变量 $X$ 取的值，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：根据题目条件建立方程
题目条件是 $P(X=2) = P(X=3)$，代入泊松分布的概率质量函数，得到方程 $\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$。
步骤 3：化简方程求解
化简方程 $\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$，消去 $e^{-\lambda}$ 并化简得：$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$，进一步化简得：$3\lambda^2 = \lambda^3$，即 $\lambda^2(\lambda - 3) = 0$。解得 $\lambda = 0$（舍去）或 $\lambda = 3$。
泊松分布的概率质量函数为 $P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}$，其中 $k$ 是随机变量 $X$ 取的值，$\lambda$ 是泊松分布的参数。
步骤 2：根据题目条件建立方程
题目条件是 $P(X=2) = P(X=3)$，代入泊松分布的概率质量函数，得到方程 $\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$。
步骤 3：化简方程求解
化简方程 $\frac{\lambda^2 e^{-\lambda}}{2!} = \frac{\lambda^3 e^{-\lambda}}{3!}$，消去 $e^{-\lambda}$ 并化简得：$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$，进一步化简得：$3\lambda^2 = \lambda^3$，即 $\lambda^2(\lambda - 3) = 0$。解得 $\lambda = 0$（舍去）或 $\lambda = 3$。