题目
A是3阶方阵,矩阵A的三个特征值为1,2,3,则 |2(A)^2+A+E|= __
题目解答
答案
968
解析
步骤 1：特征值与矩阵多项式
对于一个矩阵A，如果λ是A的特征值，那么对于任何多项式f(x)，f(λ)是f(A)的特征值。这里，我们有f(x) = 2x^2 + x + 1，所以f(λ) = 2λ^2 + λ + 1。
步骤 2：计算特征值对应的多项式值
对于A的特征值1, 2, 3，我们分别计算f(1) = 2(1)^2 + 1 + 1 = 4，f(2) = 2(2)^2 + 2 + 1 = 11，f(3) = 2(3)^2 + 3 + 1 = 22。
步骤 3：计算行列式
由于A是3阶方阵，且2A^2 + A + E的特征值为4, 11, 22，那么|2A^2 + A + E|就是这些特征值的乘积，即4 * 11 * 22。
对于一个矩阵A，如果λ是A的特征值，那么对于任何多项式f(x)，f(λ)是f(A)的特征值。这里，我们有f(x) = 2x^2 + x + 1，所以f(λ) = 2λ^2 + λ + 1。
步骤 2：计算特征值对应的多项式值
对于A的特征值1, 2, 3，我们分别计算f(1) = 2(1)^2 + 1 + 1 = 4，f(2) = 2(2)^2 + 2 + 1 = 11，f(3) = 2(3)^2 + 3 + 1 = 22。
步骤 3：计算行列式
由于A是3阶方阵，且2A^2 + A + E的特征值为4, 11, 22，那么|2A^2 + A + E|就是这些特征值的乘积，即4 * 11 * 22。