4.单选题(20分) 设Ain F^3times 3，|A|=(1)/(3)，A^*是A的伴随矩阵，则|((1)/(6)A)^-1-12A^*|=( )A. 6B. 24

本题主要考查了矩阵的逆、伴随矩阵以及行列式的相关性质。解题的关键思路是先利用伴随矩阵与逆矩阵的关系将伴随矩阵转化为逆矩阵的形式，再对矩阵表达式进行化简，最后根据行列式的性质计算化简后矩阵的行列式。

1. 根据伴随矩阵与逆矩阵的关系化简$A^*$：
   已知对于$n$阶矩阵$A$，有$AA^* = |A|E$，两边同时左乘$A^{-1}$，可得$A^* = |A|A^{-1}$。
   因为$A\in F^{3\times 3}$，$|A|=\frac{1}{3}$，所以$A^* = \frac{1}{3}A^{-1}$。
2. 将$A^*$代入原式并化简：
   将$A^* = \frac{1}{3}A^{-1}$代入$\left|\left(\frac{1}{6}A\right)^{-1}-12A^{*}\right|$中，根据逆矩阵的性质$(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$（$k\neq0$），可得$\left(\frac{1}{6}A\right)^{-1}=6A^{-1}$。
   则原式变为$\left| 6A^{-1} - 12\times\frac{1}{3}A^{-1} \right|$，计算$12\times\frac{1}{3}=4$，进一步得到$\left| 6A^{-1} - 4A^{-1} \right|$，合并同类项可得$\left| 2A^{-1} \right|$。
3. 根据行列式的性质计算$\left| 2A^{-1} \right|$：
   对于$n$阶矩阵$A$和常数$k$，有$|kA| = k^n|A|$。
   因为$A$是$3$阶矩阵，所以$\left| 2A^{-1} \right| = 2^3\left| A^{-1} \right|$。
   又因为$\left| A^{-1} \right|=\frac{1}{|A|}$，且$|A|=\frac{1}{3}$，所以$\left| A^{-1} \right| = 3$。
   则$2^3\left| A^{-1} \right| = 8\times 3 = 24$。