题目

10/10 填空客观题（自动批阅）lim_(xto0)(x^2sinfrac(1)/(x))(ln(1+x))=_.(1)

10/10 填空客观题（自动批阅） $\lim_{x\to0}\frac{x^{2}\sin\frac{1}{x}}{\ln(1+x)}=\_.$ (1)

题目解答

答案

当 $x \to 0$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，故原式可化为
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}.$
由于 $x \to 0$ 时，$x$ 为无穷小量，而 $\sin \frac{1}{x}$ 有界（在 $[-1, 1]$ 内），无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，因此
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0.$
或者，由夹逼定理，
$-|x| \leq x \sin \frac{1}{x} \leq |x|,$
当 $x \to 0$ 时，$-|x|$ 和 $|x|$ 均趋近于 0，故原极限为 0。

答案： $\boxed{0}$

解析

本题考查等价无穷小替换以及无穷小量与有界函数乘积的性质（或夹逼定理）来求极限。解题思路如下：

  1. 首先，利用等价无穷小的知识，当$x\to0$时，$\ln(1 + x)$与$x$是等价无穷小，即$\ln(1 + x)\sim x$，对原式进行化简。
  2. 化简后得到$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$，此时分析$x$和$\sin\frac{1}{x}$的性质。
    • 方法一：根据无穷小量与有界函数乘积的性质，当$x\to0$时，$x$是无穷小量，而$\sin\frac{1}{x}$的值始终在$[-1,1]$这个区间内，是有界函数，无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，所以$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
    • 方法二：使用夹逼定理，因为$-1\leqslant\sin\frac{1}{x}\leqslant1$，不等式两边同时乘以$\vert x\vert$（$x\neq0$），得到$-\vert x\vert\leqslant x\sin\frac{1}{x}\leqslant\vert x\vert$。当$x\to0$时，$\lim_{x\to0}(-\vert x\vert)=0$，$\lim_{x\to0}\vert x\vert = 0$，根据夹逼定理可知$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。

具体计算过程如下：

  • 利用等价无穷小替换：
    因为当$x\to0$时，$\ln(1 + x)\sim x$，所以$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}$。
    对$\frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}$进行化简，根据分式运算法则$\frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x}=x\sin\frac{1}{x}$，则原式变为$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$。
  • 方法一：
    因为$\lim_{x\to0}x = 0$，即$x$是$x\to0$时的无穷小量，且$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，$\sin\frac{1}{x}$是有界函数。
    根据无穷小量与有界函数乘积的性质，可得$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。
  • 方法二：
    因为$-1\leqslant\sin\frac{1}{x}\leqslant1$，不等式两边同时乘以$\vert x\vert$（$x\neq0$），得到$-\vert x\vert\leqslant x\sin\frac{1}{x}\leqslant\vert x\vert$。
    又因为$\lim_{x\to0}(-\vert x\vert)=0$，$\lim_{x\to0}\vert x\vert = 0$，根据夹逼定理$\lim_{x\to a}f(x)=L$，$\lim_{x\to a}g(x)=L$，且$f(x)\leqslant h(x)\leqslant g(x)$（在$x$趋近于$a$的某去心邻域内），则$\lim_{x\to a}h(x)=L$，所以$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$。