题目

(18)int(x+5)/(x^2)-6x+13dx

(18)$\int\frac{x+5}{x^{2}-6x+13}dx$

题目解答

答案

将被积函数分解为两部分，其中一部分分子为分母导数的倍数，另一部分为常数。 1. 分解分子： $x+5 = \frac{1}{2}(2x-6) + 8$ 2. 拆分积分： \[ \int \frac{x+5}{x^2-6x+13} \, dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-6}{x^2-6x+13} \, dx + 8 \int \frac{1}{(x-3)^2+4} \, dx \] 3. 第一个积分用换元法： 设 $u = x^2-6x+13$，则 $\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1$ 4. 第二个积分用反正切公式： 设 $v = \frac{x-3}{2}$，则 $8 \int \frac{1}{4(v^2+1)} \cdot 2 \, dv = 4 \arctan v + C_2$ 5. 合并结果： \[ \boxed{\frac{1}{2} \ln (x^2-6x+13) + 4 \arctan \left( \frac{x-3}{2} \right) + C} \]

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是将被积函数进行拆分，使其一部分可以通过换元法积分，另一部分可以利用反正切积分公式进行积分。

  1. 分解分子：
    为了将被积函数$\frac{x + 5}{x^2 - 6x + 13}$进行拆分，我们需要将分子$x + 5$构造成与分母导数相关的形式。
    对分母$x^2 - 6x + 13$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$(x^2 - 6x + 13)^\prime = 2x - 6$。
    设$x + 5 = A(2x - 6) + B$，展开可得$x + 5 = 2Ax - 6A + B$。
    对比等式两边$x$的系数和常数项，可得$\begin{cases}2A = 1\\-6A + B = 5\end{cases}$，
    由$2A = 1$解得$A = \frac{1}{2}$，将$A = \frac{1}{2}$代入$-6A + B = 5$，可得$-6\times\frac{1}{2} + B = 5$，即$-3 + B = 5$，解得$B = 8$。
    所以$x + 5 = \frac{1}{2}(2x - 6) + 8$。
  2. 拆分积分：
    将$x + 5 = \frac{1}{2}(2x - 6) + 8$代入原积分$\int\frac{x + 5}{x^2 - 6x + 13}dx$，可得：
    $\int\frac{x + 5}{x^2 - 6x + 13}dx = \int\frac{\frac{1}{2}(2x - 6) + 8}{x^2 - 6x + 13}dx$
    根据积分的加法法则$\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，进一步拆分为：
    $\int\frac{\frac{1}{2}(2x - 6) + 8}{x^2 - 6x + 13}dx = \frac{1}{2}\int\frac{2x - 6}{x^2 - 6x + 13}dx + 8\int\frac{1}{x^2 - 6x + 13}dx$
    对于$x^2 - 6x + 13$，通过配方法可得$x^2 - 6x + 13 = x^2 - 6x + 9 + 4 = (x - 3)^2 + 4$，则积分变为$\frac{1}{2}\int\frac{2x - 6}{x^2 - 6x + 13}dx + 8\int\frac{1}{(x - 3)^2 + 4}dx$。
  3. 计算第一个积分：
    设$u = x^2 - 6x + 13$，对$u$求导可得$du = (2x - 6)dx$。
    则$\frac{1}{2}\int\frac{2x - 6}{x^2 - 6x + 13}dx = \frac{1}{2}\int\frac{du}{u}$。
    根据积分公式$\int\frac{1}{u}du = \ln|u| + C_1$，可得$\frac{1}{2}\int\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln|u| + C_1$。
    把$u = x^2 - 6x + 13$代回，因为$x^2 - 6x + 13=(x - 3)^2 + 4>0$，所以$\frac{1}{2}\ln|u| + C_1 = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 6x + 13) + C_1$。
  4. 计算第二个积分：
    设$v = \frac{x - 3}{2}$，则$x = 2v + 3$，对$x$求导可得$dx = 2dv$。
    那么$(x - 3)^2 + 4 = (2v)^2 + 4 = 4(v^2 + 1)$。
    所以$8\int\frac{1}{(x - 3)^2 + 4}dx = 8\int\frac{1}{4(v^2 + 1)}\cdot 2dv$。
    化简可得$8\int\frac{1}{4(v^2 + 1)}\cdot 2dv = 4\int\frac{1}{v^2 + 1}dv$。
    根据积分公式$\int\frac{1}{v^2 + 1}dv = \arctan v + C_2$，可得$4\int\frac{1}{v^2 + 1}dv = 4\arctan v + C_2$。
    把$v = \frac{x - 3}{2}$代回，得到$4\arctan v + C_2 = 4\arctan(\frac{x - 3}{2}) + C_2$。
  5. 合并结果：
    将两个积分的结果相加，可得：
    $\int\frac{x + 5}{x^2 - 6x + 13}dx = \frac{1}{2}\ln(x^2 - 6x + 13) + 4\arctan(\frac{x - 3}{2}) + C_1 + C_2$。
    令$C = C_1 + C_2$，则最终结果为$\frac{1}{2}\ln(x^2 - 6x + 13) + 4\arctan(\frac{x - 3}{2}) + C$。