题目
求下列各微分方程的通解:-|||-''-4y'+4y=(e)^2x.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解齐次方程的通解
首先，我们求解对应的齐次方程 $y''-4y'+4y=0$ 的通解。特征方程为 $r^2-4r+4=0$，解得 $r=2$（二重根），因此齐次方程的通解为 $y_h=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$。
步骤 2：求解非齐次方程的特解
接下来，我们求解非齐次方程 $y''-4y'+4y=e^{2x}$ 的特解。由于非齐次项 $e^{2x}$ 与齐次方程的解相同，我们设特解为 $y_p=Ax^2e^{2x}$。将 $y_p$ 代入原方程，求得 $A=\frac{1}{2}$，因此特解为 $y_p=\frac{1}{2}x^2e^{2x}$。
步骤 3：求解非齐次方程的通解
最后，非齐次方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，即 $y=y_h+y_p=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+\frac{1}{2}x^2e^{2x}$。
首先，我们求解对应的齐次方程 $y''-4y'+4y=0$ 的通解。特征方程为 $r^2-4r+4=0$，解得 $r=2$（二重根），因此齐次方程的通解为 $y_h=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}$。
步骤 2：求解非齐次方程的特解
接下来，我们求解非齐次方程 $y''-4y'+4y=e^{2x}$ 的特解。由于非齐次项 $e^{2x}$ 与齐次方程的解相同，我们设特解为 $y_p=Ax^2e^{2x}$。将 $y_p$ 代入原方程，求得 $A=\frac{1}{2}$，因此特解为 $y_p=\frac{1}{2}x^2e^{2x}$。
步骤 3：求解非齐次方程的通解
最后，非齐次方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的特解，即 $y=y_h+y_p=C_1e^{2x}+C_2xe^{2x}+\frac{1}{2}x^2e^{2x}$。