假定总体为5000个单位，被研究标志的方差不小于400，抽样允许误差不超过3，当概率保证程度为95%时， （1）采用重复抽样需抽多少单位？ （2）若要求抽样允许误差减少50%，又需抽多少单位？

本题主要考察抽样调查中样本量的计算，核心知识点是重复抽样条件下样本量的公式应用，同时需考虑概率保证程度、总体方差、抽样允许误差等因素的影响。

题目关键信息

• 总体单位数 $N = 5000$（因采用重复抽样，总体单位数对样本量无影响，可忽略）
• 总体方差 $\sigma^2 \geq 400$（方差不小于400，为保证抽样精度，取 $\sigma^2 = 400$）
• 抽样允许误差 $d$：初始为3，第二问减少50%后为 $3 \times (1-50\%) = 1.5$
• 概率保证程度95%，对应临界值 $Z_{\alpha/2} = 1.96$（标准正态分布的分位数）

核心公式：重复抽样样本量计算

重复抽样条件下，样本量 $n$ 的公式为：
$n = \frac{(Z_{\alpha/2})^2 \sigma^2}{d^2}$
式中：

• $Z_{\alpha/2}$：概率保证程度对应的临界值（95%对应1.96）
• $\sigma^2$：总体方差（取最大值400以保证精度）
• $d$：抽样允许误差

（1）抽样允许误差 $d=3$ 时的样本量

代入公式：
$n = \frac{(1.96)^2 \times 400}{3^2} = \frac{3.8416 \times 400}{9} = \frac{1536.64}{9} \approx 170.74$
样本量需向上取整（保证误差不超过3），故 $n=171$。

（2）抽样允许误差减少50%（$d=1.5$）时的样本量

代入 $d=1.5$：
$n = \frac{(1.96)^2 \times 400}{1.5^2} = \frac{3.8416 \times 400}{2.25} = \frac{1536.64}{2.25} \approx 682.95$
样本量向上取整，故 $n=683$。