题目

例3 设总体X服从泊松分布P(λ),其中 lambda gt 0 为未知参数.如果取得样本-|||-观测值为x1,x2,···,xn,求参数λ的最大似然估计值.

题目解答

答案

解析

本题考查最大似然估计的知识。解题思路是先根据总体的概率函数写出似然函数，再对似然函数取对数，然后求对数似然函数关于参数的导数并令其为 0，最后解出参数的最大似然估计值。

  1. 写出似然函数：
    已知总体 $X$ 服从泊松分布 $P(\lambda)$，其概率函数为 $P(x;\lambda)=\frac{\lambda^{x}}{x!}e^{-\lambda}$，$x = 0,1,2,\cdots$。
    对于样本观测值 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，似然函数 $L(\lambda)$ 是样本取值的联合概率，即 $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}P(x_i;\lambda)$。
    将 $P(x_i;\lambda)=\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}$ 代入可得：
    $L(\lambda)=\prod_{i = 1}^{n}\frac{\lambda^{x_i}}{x_i!}e^{-\lambda}=\frac{\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}}{\prod_{i = 1}^{n}x_i!}e^{-n\lambda}$
  2. 对似然函数取对数：
    为了方便计算，对 $L(\lambda)$ 取自然对数，得到对数似然函数 $\ln L(\lambda)$：
    $\ln L(\lambda)=\ln\left(\frac{\lambda^{\sum_{i = 1}^{n}x_i}}{\prod_{i = 1}^{n}x_i!}e^{-n\lambda}\right)$
    根据对数的运算法则 $\ln(ab)=\ln a+\ln b$，$\ln\frac{a}{b}=\ln a - \ln b$，可得：
    $\ln L(\lambda)=\left(\sum_{i = 1}^{n}x_i\right)\ln\lambda-\ln\left(\prod_{i = 1}^{n}x_i!\right)-n\lambda$
  3. 求对数似然函数关于 $\lambda$ 的导数并令其为 0：
    对 $\ln L(\lambda)$ 关于 $\lambda$ 求导：
    $\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}-n$
    令 $\frac{d\ln L(\lambda)}{d\lambda}=0$，即 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}-n = 0$。
  4. 解出参数 $\lambda$ 的最大似然估计值：
    由 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}-n = 0$，移项可得 $\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_i}{\lambda}=n$，
    两边同时乘以 $\lambda$ 得到 $\sum_{i = 1}^{n}x_i = n\lambda$，
    再两边同时除以 $n$，解得 $\lambda=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_i=\overline{x}$，其中 $\overline{x}$ 是样本均值。