题目
求指导本题解题过程，谢谢您！3-|||-6-|||-8.计算J 2xydσ,其中积分区域D是 由y轴, x+y=3 , y=2x 所围成的闭区域.-|||-3.3
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域D
根据题目描述，积分区域D是由y轴，直线x+y=3和直线y=2x所围成的闭区域。首先，我们需要找到这些直线的交点，以确定积分区域的边界。
步骤 2：求交点
- y轴与x+y=3的交点：将x=0代入x+y=3，得到y=3，所以交点为(0,3)。
- y轴与y=2x的交点：将x=0代入y=2x，得到y=0，所以交点为(0,0)。
- x+y=3与y=2x的交点：将y=2x代入x+y=3，得到x+2x=3，解得x=1，y=2，所以交点为(1,2)。
步骤 3：确定积分区域D的边界
根据步骤2的交点，积分区域D的边界为：y轴（x=0），直线x+y=3（y=3-x），直线y=2x。
步骤 4：计算二重积分
根据步骤3的边界，我们可以将二重积分表示为：
${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{2x}^{3-x}2xydy$
步骤 5：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{2x}^{3-x}2xydy$，得到：
$2x{\int }_{2x}^{3-x}ydy=2x\left[\dfrac {1}{2}y^{2}\right]_{2x}^{3-x}=x\left[(3-x)^{2}-(2x)^{2}\right]=x\left[9-6x+x^{2}-4x^{2}\right]=x\left[9-6x-3x^{2}\right]$
步骤 6：计算外层积分
计算外层积分${\int }_{0}^{1}x\left[9-6x-3x^{2}\right]dx$，得到：
${\int }_{0}^{1}x\left[9-6x-3x^{2}\right]dx={\int }_{0}^{1}\left[9x-6x^{2}-3x^{3}\right]dx=\left[\dfrac {9}{2}x^{2}-2x^{3}-\dfrac {3}{4}x^{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac {9}{2}-2-\dfrac {3}{4}=\dfrac {18}{4}-\dfrac {8}{4}-\dfrac {3}{4}=\dfrac {7}{4}$
根据题目描述，积分区域D是由y轴，直线x+y=3和直线y=2x所围成的闭区域。首先，我们需要找到这些直线的交点，以确定积分区域的边界。
步骤 2：求交点
- y轴与x+y=3的交点：将x=0代入x+y=3，得到y=3，所以交点为(0,3)。
- y轴与y=2x的交点：将x=0代入y=2x，得到y=0，所以交点为(0,0)。
- x+y=3与y=2x的交点：将y=2x代入x+y=3，得到x+2x=3，解得x=1，y=2，所以交点为(1,2)。
步骤 3：确定积分区域D的边界
根据步骤2的交点，积分区域D的边界为：y轴（x=0），直线x+y=3（y=3-x），直线y=2x。
步骤 4：计算二重积分
根据步骤3的边界，我们可以将二重积分表示为：
${\int }_{0}^{1}dx{\int }_{2x}^{3-x}2xydy$
步骤 5：计算内层积分
计算内层积分${\int }_{2x}^{3-x}2xydy$，得到：
$2x{\int }_{2x}^{3-x}ydy=2x\left[\dfrac {1}{2}y^{2}\right]_{2x}^{3-x}=x\left[(3-x)^{2}-(2x)^{2}\right]=x\left[9-6x+x^{2}-4x^{2}\right]=x\left[9-6x-3x^{2}\right]$
步骤 6：计算外层积分
计算外层积分${\int }_{0}^{1}x\left[9-6x-3x^{2}\right]dx$，得到：
${\int }_{0}^{1}x\left[9-6x-3x^{2}\right]dx={\int }_{0}^{1}\left[9x-6x^{2}-3x^{3}\right]dx=\left[\dfrac {9}{2}x^{2}-2x^{3}-\dfrac {3}{4}x^{4}\right]_{0}^{1}=\dfrac {9}{2}-2-\dfrac {3}{4}=\dfrac {18}{4}-\dfrac {8}{4}-\dfrac {3}{4}=\dfrac {7}{4}$