题目
1.计算下列二重积分:-|||-(1) iint ((x)^2+(y)^2)dtheta , 其中 = (x,y)||x|leqslant 1,|y|leqslant 1 ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 是一个边长为2的正方形，其顶点为 $(\pm1, \pm1)$。这意味着 $x$ 和 $y$ 的取值范围都是 $[-1, 1]$。
步骤 2：设置二重积分
根据题目，我们需要计算二重积分 $\iint ({x}^{2}+{y}^{2})dx$。由于积分区域是矩形，我们可以将其分解为两个单积分的乘积，即 $\int_{-1}^{1}dx\int_{-1}^{1}({x}^{2}+{y}^{2})dy$。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 $\int_{-1}^{1}({x}^{2}+{y}^{2})dy$。由于 $x^2$ 是关于 $y$ 的常数，我们可以将其提出来，得到 $\int_{-1}^{1}({x}^{2}+{y}^{2})dy = x^2\int_{-1}^{1}dy + \int_{-1}^{1}y^2dy$。计算这两个积分，我们得到 $x^2[y]_{-1}^{1} + [\frac{y^3}{3}]_{-1}^{1} = x^2(1 - (-1)) + \frac{1}{3}(1^3 - (-1)^3) = 2x^2 + \frac{2}{3}$。
步骤 4：计算外层积分
现在我们有了内层积分的结果，可以计算外层积分 $\int_{-1}^{1}(2x^2 + \frac{2}{3})dx$。这可以分解为 $\int_{-1}^{1}2x^2dx + \int_{-1}^{1}\frac{2}{3}dx$。计算这两个积分，我们得到 $2[\frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} + \frac{2}{3}[x]_{-1}^{1} = 2(\frac{1}{3} - \frac{-1}{3}) + \frac{2}{3}(1 - (-1)) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。
积分区域 $D$ 是一个边长为2的正方形，其顶点为 $(\pm1, \pm1)$。这意味着 $x$ 和 $y$ 的取值范围都是 $[-1, 1]$。
步骤 2：设置二重积分
根据题目，我们需要计算二重积分 $\iint ({x}^{2}+{y}^{2})dx$。由于积分区域是矩形，我们可以将其分解为两个单积分的乘积，即 $\int_{-1}^{1}dx\int_{-1}^{1}({x}^{2}+{y}^{2})dy$。
步骤 3：计算内层积分
首先计算内层积分 $\int_{-1}^{1}({x}^{2}+{y}^{2})dy$。由于 $x^2$ 是关于 $y$ 的常数，我们可以将其提出来，得到 $\int_{-1}^{1}({x}^{2}+{y}^{2})dy = x^2\int_{-1}^{1}dy + \int_{-1}^{1}y^2dy$。计算这两个积分，我们得到 $x^2[y]_{-1}^{1} + [\frac{y^3}{3}]_{-1}^{1} = x^2(1 - (-1)) + \frac{1}{3}(1^3 - (-1)^3) = 2x^2 + \frac{2}{3}$。
步骤 4：计算外层积分
现在我们有了内层积分的结果，可以计算外层积分 $\int_{-1}^{1}(2x^2 + \frac{2}{3})dx$。这可以分解为 $\int_{-1}^{1}2x^2dx + \int_{-1}^{1}\frac{2}{3}dx$。计算这两个积分，我们得到 $2[\frac{x^3}{3}]_{-1}^{1} + \frac{2}{3}[x]_{-1}^{1} = 2(\frac{1}{3} - \frac{-1}{3}) + \frac{2}{3}(1 - (-1)) = \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$。