题目

(1)(14分)求微分方程(x^3-y^2)dx+(x^2y+xy)dy=0,的通解。

(1)(14分)求微分方程 $(x^{3}-y^{2})dx+(x^{2}y+xy)dy=0,$的通解。

题目解答

答案

令 $y = vx$，则 $dy = vdx + xdv$。代入原方程得 \[ (x^3 - v^2x^2)dx + (x^3v + x^2v)(vdx + xdv) = 0. \] 化简得 \[ x^3(1 + v^2)dx + x^3v(1 + x)dv = 0. \] 分离变量并积分得 \[ \ln|1 + x| = -\frac{1}{2} \ln(1 + v^2) + C. \] 代回 $v = \frac{y}{x}$，得 \[ (1 + x)\sqrt{x^2 + y^2} = Cx. \] **答案：** $\boxed{(1 + x)\sqrt{x^2 + y^2} = Cx}$（其中 $C$ 为任意常数）。

解析

考查要点：本题主要考查可降阶的微分方程中的齐次方程解法，通过变量代换将方程转化为可分离变量的形式。

解题核心思路：

  1. 识别方程类型：观察方程结构，尝试通过变量代换$y = vx$将原方程转化为关于$v$和$x$的可分离变量方程。
  2. 代换化简：将$dy = vdx + xdv$代入原方程，整理后分离变量$x$和$v$。
  3. 积分求解：对分离后的方程分别积分，最后代回原变量得到通解。

破题关键点：

  • 变量代换的选择：通过$y = vx$将方程转化为齐次方程的标准形式。
  • 分离变量的技巧：通过代数变形将方程整理为仅含$x$和$v$的分离形式。

变量代换与方程化简

令$y = vx$，则$dy = vdx + xdv$。代入原方程：
$(x^3 - v^2x^2)dx + (x^3v + x^2v)(vdx + xdv) = 0$
展开并整理：
$x^3(1 + v^2)dx + x^3v(x + 1)dv = 0$

分离变量与积分

将方程改写为：
$\frac{dx}{x + 1} = -\frac{v}{1 + v^2}dv$
分别对两边积分：
$\int \frac{1}{x + 1}dx = -\int \frac{v}{1 + v^2}dv$
积分结果为：
$\ln|x + 1| = -\frac{1}{2}\ln(1 + v^2) + C$

代回原变量并整理

将$v = \frac{y}{x}$代入，整理得：
$(1 + x)\sqrt{x^2 + y^2} = Cx$