题目
2.求下列微分方程满足所给初值条件的特解:-|||-(1) '=(e)^2x-y, (|)_(x=0)=0;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分离变量
给定微分方程 $y'={e}^{2x-y}$ 可以写成 $\dfrac{dy}{dx}={e}^{2x-y}$。分离变量，得到 ${e}^{y}dy={e}^{2x}dx$。
步骤 2：积分
对等式两边分别积分，得到 $\int {e}^{y}dy=\int {e}^{2x}dx$。左边积分得到 ${e}^{y}$，右边积分得到 $\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：应用初值条件
由初值条件 $y{|}_{x=0}=0$，代入得到 ${e}^{0}=\dfrac{1}{2}{e}^{0}+C$，即 $1=\dfrac{1}{2}+C$，解得 $C=\dfrac{1}{2}$。
步骤 4：求特解
将 $C=\dfrac{1}{2}$ 代入 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+C$，得到 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}$，即 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}({e}^{2x}+1)$。对等式两边取自然对数，得到 $y=\ln \dfrac{{e}^{2x}+1}{2}$。
给定微分方程 $y'={e}^{2x-y}$ 可以写成 $\dfrac{dy}{dx}={e}^{2x-y}$。分离变量，得到 ${e}^{y}dy={e}^{2x}dx$。
步骤 2：积分
对等式两边分别积分，得到 $\int {e}^{y}dy=\int {e}^{2x}dx$。左边积分得到 ${e}^{y}$，右边积分得到 $\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：应用初值条件
由初值条件 $y{|}_{x=0}=0$，代入得到 ${e}^{0}=\dfrac{1}{2}{e}^{0}+C$，即 $1=\dfrac{1}{2}+C$，解得 $C=\dfrac{1}{2}$。
步骤 4：求特解
将 $C=\dfrac{1}{2}$ 代入 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+C$，得到 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}{e}^{2x}+\dfrac{1}{2}$，即 ${e}^{y}=\dfrac{1}{2}({e}^{2x}+1)$。对等式两边取自然对数，得到 $y=\ln \dfrac{{e}^{2x}+1}{2}$。