题目

若A= (} 1& 0& 1 0& 2& 0 -1& 0& 1 ) .,求矩阵X

若 $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$ 满足矩阵方程 $AXA^{-1}=XA^{-1}+3E$ ,求矩阵X

题目解答

答案

已知 $AXA^{-1}=XA^{-1}+3E$ ，两边同时右乘A,可得AX=X+3A, 移项得：(A-E)X=3A,从而得出 $X=3(A-E)^{-1}A$

1. 先求出 $(A-E)^{-1}$ ：

已知 $A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$ ,则 $A-E=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{pmatrix}$

|A-E|=-(1×1×(-1))=1, $(A-E)^{-1}=(A-E)^*=\begin{pmatrix} 0&0&-1 \newline 0&1&0 \newline 1&0&0 \end{pmatrix}$

2. 计算 $X=3(A-E)^{-1}A$ ：

$X=3\times\begin{pmatrix} 0&0&-1 \newline 0&1&0 \newline 1&0&0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}$

$=3\begin{pmatrix} 1&0&-1 \newline 0&2&0 \newline 1&0&1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3&0&-3 \newline 0&6&0 \newline 3&0&3 \end{pmatrix}$

故答案是： $X=\begin{pmatrix} 3&0&-3 \newline 0&6&0 \newline 3&0&3 \end{pmatrix}$

解析

步骤 1：矩阵方程变形
给定矩阵方程$AX{A}^{-1}=X{A}^{-1}+3E$，首先两边同时右乘A，得到$AX=X+3A$。
步骤 2：求解矩阵X
将方程$AX=X+3A$移项，得到$(A-E)X=3A$。因此，$X=3{(A-E)}^{-1}A$。
步骤 3：计算$(A-E)^{-1}$
已知$A-E=\left (\begin{matrix} 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ -1& 0& 0\end{matrix} ) \right.$，计算其逆矩阵$(A-E)^{-1}$。
步骤 4：计算矩阵X
根据$X=3{(A-E)}^{-1}A$，代入$(A-E)^{-1}$和A的值，计算出矩阵X。