3.设向量 _(1)=((1+lambda ,1,1))^T, _(2)=((1,1+lambda ,1))^T _(3)=((1,1,1+lambda ))^T ,β=-|||-(0,λ,λ^2)^T,讨论λ满足什么条件时,-|||-(1)β可由α1,α2,a3线性表示,且表示方法唯一-|||-(2)β可由α1,α2,α3线性表示,但表示方法不唯一.-|||-(3)β不能由α1,α 2,α3线性表示.

步骤 1：构建方程组
为了讨论 $\beta$ 是否可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，我们需要解方程组
$$
k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = \beta
$$
其中，$\alpha_1 = (1+\lambda, 1, 1)^T$, $\alpha_2 = (1, 1+\lambda, 1)^T$, $\alpha_3 = (1, 1, 1+\lambda)^T$, $\beta = (0, \lambda, \lambda^2)^T$。这可以写成矩阵形式
$$
\begin{pmatrix}
1+\lambda & 1 & 1 \\
1 & 1+\lambda & 1 \\
1 & 1 & 1+\lambda
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
\lambda \\
\lambda^2
\end{pmatrix}
$$
步骤 2：计算系数矩阵的行列式
为了判断方程组是否有唯一解，我们需要计算系数矩阵的行列式
$$
\text{det} \begin{pmatrix}
1+\lambda & 1 & 1 \\
1 & 1+\lambda & 1 \\
1 & 1 & 1+\lambda
\end{pmatrix}
$$
行列式计算如下：
$$
\text{det} = (1+\lambda)((1+\lambda)(1+\lambda) - 1) - 1((1+\lambda) - 1) + 1(1 - (1+\lambda))
$$
$$
= (1+\lambda)(\lambda^2 + 2\lambda) - \lambda + (-\lambda)
$$
$$
= \lambda^3 + 3\lambda^2 + 2\lambda - 2\lambda
$$
$$
= \lambda^3 + 3\lambda^2
$$
$$
= \lambda^2(\lambda + 3)
$$
步骤 3：分析行列式
根据行列式的值，我们可以判断方程组的解的情况：
- 当 $\lambda^2(\lambda + 3) \neq 0$，即 $\lambda \neq 0$ 且 $\lambda \neq -3$ 时，方程组有唯一解，$\beta$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 唯一线性表示。
- 当 $\lambda = 0$ 时，行列式为0，但方程组可能有无穷多解，$\beta$ 可以由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，但表示方法不唯一。
- 当 $\lambda = -3$ 时，行列式为0，方程组可能无解，$\beta$ 不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示。