题目

7.求通过点 P(1,0,-2) 而与平面 3x-y+2z-1=0 平行,且与直线-|||-dfrac (x-1)(4)=dfrac (y-3)(-2)=dfrac (z)(1)-|||-相交的直线方程.

题目解答

答案

解析

本题考查空间解析几何中直线方程的求解，解题的关键思路是利用直线与平面平行的性质以及直线相交的条件来确定所求直线的方向向量，进而得到直线方程。

  1. 设所求直线与已知直线的交点：
    • 已知直线$l_1:\frac{x - 1}{4}=\frac{y - 3}{-2}=\frac{z}{1}=t$，则直线$l_1$上的点的坐标可表示为$\begin{cases}x = 4t+1\\y=-2t + 3\\z=t\end{cases}$。设所求直线$l$与直线$l_1$的交点为$M(4t + 1,-2t+3,t)$。
  2. 求向量$\overrightarrow{PM}$：
    • 已知点$P(1,0,-2)$，则$\overrightarrow{PM}=(4t + 1-1,-2t + 3-0,t+2)=(4t,-2t + 3,t + 2)$。
  3. 利用直线与平面平行的性质：
    • 已知平面$3x-y + 2z-1 = 0$的法向量$\vec{n}=(3,-1,2)$。
    • 因为所求直线$l$与平面$3x-y + 2z-1 = 0$平行，所以$\overrightarrow{PM}\cdot\vec{n}=0$。
    • 根据向量点积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$，可得$\overrightarrow{PM}\cdot\vec{n}=3\times4t+(-1)\times(-2t + 3)+2\times(t + 2)=0$。
    • 展开式子得$12t + 2t-3 + 2t+4 = 0$。
    • 合并同类项得$(12t+2t + 2t)+(-3 + 4)=0$，即$16t+1 = 0$。
    • 解方程$16t+1 = 0$，移项可得$16t=-1$，解得$t=-\frac{1}{16}$。
  4. 求所求直线的方向向量：
    • 将$t = -\frac{1}{16}$代入$\overrightarrow{PM}=(4t,-2t + 3,t + 2)$，可得$\overrightarrow{PM}=4\times(-\frac{1}{16}),-2\times(-\frac{1}{16})+3,-\frac{1}{16}+2$。
    • 分别计算坐标：
      • $4\times(-\frac{1}{16})=-\frac{1}{4}$；
      • $-2\times(-\frac{1}{16})+3=\frac{1}{8}+3=\frac{1 + 24}{8}=\frac{25}{8}$；
      • $-\frac{1}{16}+2=\frac{-1+32}{16}=\frac{31}{16}$。
    • 所以$\overrightarrow{PM}=(-\frac{1}{4},\frac{25}{8},\frac{31}{16})$，为了方便书写直线方程，可将其化为整数比，给向量各项同乘$16$，得到方向向量$\vec{s}=(-4,50,31)$。
  5. 求所求直线方程：
    • 已知所求直线过点$P(1,0,-2)$，方向向量为$\vec{s}=(-4,50,31)$。
    • 根据直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$（其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(m,n,p)$为直线的方向向量），可得所求直线方程为$\frac{x - 1}{-4}=\frac{y-0}{50}=\frac{z + 2}{31}$，即$\frac{x - 1}{-4}=\frac{y}{50}=\frac{z + 2}{31}$。