3、(2007年)已知当x→0时, ^2ln (1+(x)^2) 是sin"x的高阶无穷小,而sin"x又是 https:/img.cdnjtzy.com/zyb_0b0069c24a40acb66d83ed049349c046.jpg-cos x-|||-的高阶无穷小,则正整数 n= ()-|||-A、1 B、2 C、3 D、4

本题考查高阶无穷小的概念以及等价无穷小的替换，解题的关键在于利用等价无穷小将所给函数进行化简，再根据高阶无穷小的定义列出不等式求解正整数 $n$。

步骤一：明确等价无穷小关系

当 $x \to 0$ 时，有以下等价无穷小关系：

• $\ln(1 + x) \sim x$，所以当 $x \to 0$ 时，$\ln(1 + x^2) \sim x^2$，则 $x^2\ln(1 + x^2) \sim x^2 \cdot x^2 = x^4$。
• $\sin x \sim x$，所以当 $x \to 0$ 时，$\sin^n x \sim x^n$。
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$。

步骤二：根据高阶无穷小的定义列出不等式

已知当 $x \to 0$ 时，$x^2\ln(1 + x^2)$ 是 $\sin^n x$ 的高阶无穷小，根据高阶无穷小的定义，若 $\lim\limits_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 0$，则称当 $x \to x_0$ 时，$\alpha(x)$ 是 $\beta(x)$ 的高阶无穷小。所以有：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2\ln(1 + x^2)}{\sin^n x} = 0$
将等价无穷小代入可得：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^4}{x^n} = 0$
要使该极限为 $0$，则分子的次数要高于分母的次数，即 $4 \gt n$。

又已知当 $x \to 0$ 时，$\sin^n x$ 是 $1 - \cos x$ 的高阶无穷小，同理可得：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin^n x}{1 - \cos x} = 0$
将等价无穷小代入可得：
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x^n}{\frac{1}{2}x^2} = 0$
要使该极限为 $0$，则分子的次数要高于分母的次数，即 $n \gt 2$。

步骤三：确定正整数 $n$ 的值

综合以上两个不等式 $2 \lt n \lt 4$，因为 $n$ 为正整数，所以 $n = 3$。