题目

有3台测温仪表量程均为600^circmathrm(C)，精度等级分别为2.5级、2级和1.5级，现要测量温度为500^circmathrm(C)的物体，允许相对误差不超过2.5%，问选用哪一台最合适？

有3台测温仪表量程均为$600^{\circ}\mathrm{C}$，精度等级分别为2.5级、2级和1.5级，现要测量温度为$500^{\circ}\mathrm{C}$的物体，允许相对误差不超过2.5%，问选用哪一台最合适？

题目解答

答案

根据题目要求，需选择在测量500℃时相对误差不超过2.5%的测温仪表。三台仪表量程均为600℃，精度等级分别为2.5级、2.0级和1.5级。计算各仪表在500℃处的最大相对误差如下：

  • 2.5级仪表：
    最大绝对误差 $\Delta_1 = \pm 600 \times 2.5\% = \pm 15^\circ\text{C}$，
    相对误差 $\delta_{\text{相对1}} = \frac{\pm 15}{500} \times 100\% = \pm 3\% > 2.5\%$ → 不满足要求。

  • 2.0级仪表：
    最大绝对误差 $\Delta_2 = \pm 600 \times 2.0\% = \pm 12^\circ\text{C}$，
    相对误差 $\delta_{\text{相对2}} = \frac{\pm 12}{500} \times 100\% = \pm 2.4\% < 2.5\%$ → 满足要求。

  • 1.5级仪表：
    最大绝对误差 $\Delta_3 = \pm 600 \times 1.5\% = \pm 9^\circ\text{C}$，
    相对误差 $\delta_{\text{相对3}} = \frac{\pm 9}{500} \times 100\% = \pm 1.8\% < 2.5\%$ → 满足要求。

综合判断：

  • 2.5级仪表超差，排除；
  • 2.0级与1.5级均满足精度要求；
  • 在满足技术指标前提下，优先选用经济性更优的仪表 → 2.0级为最合适选择。

解析

本题考查仪表精度等级、最大绝对误差和相对误差的概念及计算，解题思路是先根据仪表的量程和精度等级计算出各仪表的最大绝对误差，再结合要测量的温度值计算出各仪表在该温度下的相对误差，最后根据允许的相对误差要求来选择最合适的仪表。

  1. 明确相关公式：
    • 最大绝对误差公式：$\Delta = \pm A_m \times \alpha$，其中$A_m$是仪表量程，$\alpha$是精度等级。
    • 相对误差公式：$\delta_{相对}=\frac{\Delta}{A} \times 100\%$，其中$A$是测量值。
  2. 计算2.5级仪表的相关误差：
    • 已知量程$A_{m1}=600^{\circ}C$，精度等级$\alpha_1 = 2.5\%$，根据最大绝对误差公式可得最大绝对误差$\Delta_1 = \pm A_{m1} \times \alpha_1=\pm 600\times 2.5\%=\pm 15^{\circ}C$。
    • 测量值$A = 500^{\circ}C$，根据相对误差公式可得相对误差$\delta_{相对1}=\frac{\Delta_1}{A} \times 100\%=\frac{\pm 15}{500} \times 100\%=\pm 3\%$。
    • 因为$\pm 3\%> 2.5\%$，所以2.5级仪表不满足要求。
  3. 计算2.0级仪表的相关误差：
    • 已知量程$A_{m2}=600^{\circ}C$，精度等级$\alpha_2 = 2.0\%$，根据最大绝对误差公式可得最大绝对误差$\Delta_2 = \pm A_{m2} \times \alpha_2=\pm 600\times 2.0\%=\pm 12^{\circ}C$。
    • 测量值$A = 500^{\circ}C$，根据相对误差公式可得相对误差$\delta_{相对2}=\frac{\Delta_2}{A} \times 100\%=\frac{\pm 12}{500} \times 100\%=\pm 2.4\%$。
    • 因为$\pm 2.4\%< 2.5\%$，所以2.0级仪表满足要求。
  4. 计算1.5级仪表的相关误差：
    • 已知量程$A_{m3}=600^{\circ}C$，精度等级$\alpha_3 = 1.5\%$，根据最大绝对误差公式可得最大绝对误差$\Delta_3 = \pm A_{m3} \times \alpha_3=\pm 600\times 1.5\%=\pm 9^{\circ}C$。
    • 测量值$A = 500^{\circ}C$，根据相对误差公式可得相对误差$\delta_{相对3}=\frac{\Delta_3}{A} \times 100\%=\frac{\pm 9}{500} \times 100\%=\pm 1.8\%$。
    • 因为$\pm 1.8\%< 2.5\%$，所以1.5级仪表满足要求。
  5. 综合判断：
    • 2.5级仪表超差，排除；2.0级与1.5级均满足精度要求。
    • 在满足技术指标前提下，优先选用经济性更优的仪表，一般精度等级越低价格越便宜，所以2.0级为最合适选择。