题目
年对(4分) 极限 lim _(xarrow infty )x(e)^dfrac (1{{x)^2}} 的值为 () ()-|||-A.不存在 的-|||-B.0-|||-C. dfrac (1)(2)-|||-○ D.1
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换极限形式
将原极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }x{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$ 转换为 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}}{\dfrac {1}{x}}$，这样可以更方便地应用洛必达法则。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}}{\dfrac {1}{x}}$ 是 $\dfrac {0}{0}$ 型的不定式，可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}\cdot (-\dfrac {2}{x^{3}})}{-\dfrac {1}{x^{2}}}$。
步骤 3：简化表达式
简化上述表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}}{x}$。由于当 $x\rightarrow \infty$ 时，${e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}\rightarrow 1$，所以原极限等于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{x}=0$。
将原极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }x{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}$ 转换为 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}}{\dfrac {1}{x}}$，这样可以更方便地应用洛必达法则。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}}{\dfrac {1}{x}}$ 是 $\dfrac {0}{0}$ 型的不定式，可以应用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}\cdot (-\dfrac {2}{x^{3}})}{-\dfrac {1}{x^{2}}}$。
步骤 3：简化表达式
简化上述表达式，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2{e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}}{x}$。由于当 $x\rightarrow \infty$ 时，${e}^{\dfrac {1}{{x}^{2}}}\rightarrow 1$，所以原极限等于 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2}{x}=0$。