5.计算int_(L)(x^2-y)dx-(x+sin^2y)dy，其中L是抛物线 2y=πx^2上由点O(0,0)到点B(1,(π)/(2))的一段弧。

为了计算线积分$\int_{L}(x^{2}-y)dx-(x+\sin^{2}y)dy$，其中$L$是抛物线$2y=\pi x^2$上由点$O(0,0)$到点$B(1,\frac{\pi}{2})$的一段弧，我们可以按照以下步骤进行： 1. **参数化曲线 $L$:** 抛物线由$2y = \pi x^2$给出，因此我们可以将$y$表示为$x$的函数： \[ y = \frac{\pi x^2}{2} \] $x$的范围从0到1。$y$关于$x$的导数为： \[ \frac{dy}{dx} = \pi x \implies dy = \pi x \, dx \] 2. **将积分用 $x$ 表示:** 将$y = \frac{\pi x^2}{2}$和$dy = \pi x \, dx$代入线积分： \[ \int_{L} (x^2 - y) \, dx - (x + \sin^2 y) \, dy = \int_{0}^{1} \left( x^2 - \frac{\pi x^2}{2} \right) \, dx - \left( x + \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \pi x \, dx \] 简化被积函数： \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) \right) \, dx - \int_{0}^{1} \left( x \pi x + \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \pi x \right) \, dx = \int_{0}^{1} x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) \, dx - \int_{0}^{1} \left( \pi x^2 + \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \, dx \] 合并积分： \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} \right) - \pi x^2 - \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \, dx = \int_{0}^{1} \left( x^2 \left( 1 - \frac{\pi}{2} - \pi \right) - \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \, dx \] 进一步简化： \[ \int_{0}^{1} \left( x^2 \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) - \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \right) \, dx \] 3. **计算积分:** 将积分分为两部分： \[ \int_{0}^{1} x^2 \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \, dx - \int_{0}^{1} \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \, dx \] 计算第一个积分： \[ \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \left( 1 - \frac{3\pi}{2} \right) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} \] 计算第二个积分。设$u = \frac{\pi x^2}{2}$，则$du = \pi x \, dx$： \[ - \int_{0}^{1} \pi x \sin^2 \left( \frac{\pi x^2}{2} \right) \, dx = - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 u \, du \] 使用恒等式$\sin^2 u = \frac{1 - \cos 2u}{2}$： \[ - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 u \, du = - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 - \cos 2u}{2} \, du = - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 2u) \, du = - \frac{1}{2} \left[ u - \frac{\sin 2u}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = - \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 0 \right) = - \frac{\pi}{4} \] 结合结果： \[ \frac{1}{3} - \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{1}{3} - \frac{3\pi}{4} \] 最终答案是： \[ \boxed{\frac{1}{3} - \frac{3\pi}{4}} \]