题目
2.计算由曲面z=(1)/(3)(x^2+y^2)与z=sqrt(4-x^2)-y^(2)所围成的立体的体积.
2.计算由曲面$z=\frac{1}{3}(x^{2}+y^{2})$与$z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$所围成的立体的体积.
题目解答
答案
将两曲面方程转换为柱坐标系，其中 $ x^2 + y^2 = r^2 $，$ z = z $。求交线：
\[
\frac{1}{3}r^2 = \sqrt{4 - r^2} \implies r^4 + 9r^2 - 36 = 0 \implies r^2 = 3 \implies r = \sqrt{3}
\]
体积积分表达式为：
\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \left( \sqrt{4 - r^2} - \frac{1}{3}r^2 \right) r \, dr \, d\theta
\]
先对 $ r $ 积分：
\[
\int_0^{\sqrt{3}} \left( r\sqrt{4 - r^2} - \frac{1}{3}r^3 \right) dr = \frac{7}{3} - \frac{3}{4} = \frac{19}{12}
\]
再对 $ \theta $ 积分：
\[
V = \frac{19}{12} \times 2\pi = \frac{19\pi}{6}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{19\pi}{6}}
\]
解析
步骤 1：转换为柱坐标系
将给定的曲面方程转换为柱坐标系，其中 $x^2 + y^2 = r^2$，$z = z$。这样可以简化积分计算。
步骤 2：求交线
求解两个曲面的交线，即解方程 $\frac{1}{3}r^2 = \sqrt{4 - r^2}$，得到 $r = \sqrt{3}$。
步骤 3：体积积分表达式
根据柱坐标系下的体积积分公式，写出体积积分表达式 $V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \left( \sqrt{4 - r^2} - \frac{1}{3}r^2 \right) r \, dr \, d\theta$。
步骤 4：先对 $r$ 积分
计算积分 $\int_0^{\sqrt{3}} \left( r\sqrt{4 - r^2} - \frac{1}{3}r^3 \right) dr$，得到 $\frac{7}{3} - \frac{3}{4} = \frac{19}{12}$。
步骤 5：再对 $\theta$ 积分
计算积分 $V = \frac{19}{12} \times 2\pi = \frac{19\pi}{6}$。
将给定的曲面方程转换为柱坐标系，其中 $x^2 + y^2 = r^2$，$z = z$。这样可以简化积分计算。
步骤 2：求交线
求解两个曲面的交线，即解方程 $\frac{1}{3}r^2 = \sqrt{4 - r^2}$，得到 $r = \sqrt{3}$。
步骤 3：体积积分表达式
根据柱坐标系下的体积积分公式，写出体积积分表达式 $V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\sqrt{3}} \left( \sqrt{4 - r^2} - \frac{1}{3}r^2 \right) r \, dr \, d\theta$。
步骤 4：先对 $r$ 积分
计算积分 $\int_0^{\sqrt{3}} \left( r\sqrt{4 - r^2} - \frac{1}{3}r^3 \right) dr$，得到 $\frac{7}{3} - \frac{3}{4} = \frac{19}{12}$。
步骤 5：再对 $\theta$ 积分
计算积分 $V = \frac{19}{12} \times 2\pi = \frac{19\pi}{6}$。