设(X,Y)为二维随机变量,则与Cov(X,Y)=0< underdot>不等价< /underdot>的是() A. X与Y相互独立B. D(X+Y)=DX+DYC. D(X-Y)=DX+DYD. E(XY)=EX cdot EY

本题考查二维随机变量的协方差、方差、期望以及随机变量独立性之间的关系。解题的关键在于明确各个概念之间的联系和等价条件，通过对每个选项与$Cov(X,Y)=0$进行等价推导来判断。

选项A

随机变量$X$与$Y$相互独立是一个较强的条件，它意味着$X$的取值不影响$Y$的取值，反之亦然。而$Cov(X,Y)=0$只能说明$X$和$Y$不存在线性关系，但不能推出$X$与$Y$相互独立。例如，设$X$服从$[-1,1]$上的均匀分布，$Y = X^2$，此时$Cov(X,Y)=0$，但$Y$的值完全由$X$的值决定，$X$与$Y$并不相互独立。所以$Cov(X,Y)=0$与$X$与$Y$相互独立不等价。

选项B

根据方差的性质$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$。
若$Cov(X,Y)=0$，则$D(X + Y)=D(X)+D(Y)+2\times0=D(X)+D(Y)$；
反之，若$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$，即$D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$，两边同时减去$D(X)+D(Y)$可得$2Cov(X,Y)=0$，即$Cov(X,Y)=0$。所以$Cov(X,Y)=0$与$D(X + Y)=D(X)+D(Y)$等价。

选项C

同样根据方差的性质$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$。
若$Cov(X,Y)=0$，则$D(X - Y)=D(X)+D(Y)-2\times0=D(X)+D(Y)$；
反之，若$D(X - Y)=D(X)+D(Y)$，即$D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)$，两边同时减去$D(X)+D(Y)$可得$-2Cov(X,Y)=0$，即$Cov(X,Y)=0$。所以$Cov(X,Y)=0$与$D(X - Y)=D(X)+D(Y)$等价。

选项D

协方差的计算公式为$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y)$。
若$Cov(X,Y)=0$，则$E(XY)-E(X)\cdot E(Y)=0$，移项可得$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$；
反之，若$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$，则$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)\cdot E(Y)=0$。所以$Cov(X,Y)=0$与$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$等价。