求不定积分 int (e^arctan x + 2x ln (1 + x^2))/(1 + x^2) dx.

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用积分的可加性将原积分拆分成两个较简单的积分，然后分别通过换元法来求解这两个积分。

步骤一：拆分原积分

根据积分的可加性$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，将原积分$\int \frac{e^{\arctan x} + 2x \ln \left(1 + x^2\right)}{1 + x^2} dx$拆分为两部分：
$\int \frac{e^{\arctan x}}{1 + x^2} \, dx + \int \frac{2x \ln(1 + x^2)}{1 + x^2} \, dx$

步骤二：计算第一部分积分$\int \frac{e^{\arctan x}}{1 + x^2} \, dx$

令$u = \arctan x$，对$u$求导，根据求导公式$(\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^2}$，可得$du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx$。
将$u = \arctan x$和$du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx$代入积分$\int \frac{e^{\arctan x}}{1 + x^2} \, dx$中，得到：
$\int e^u \, du$
根据基本积分公式$\int e^x dx=e^x + C$，可得：
$\int e^u \, du = e^u + C$
再将$u = \arctan x$代回，得到：
$e^{\arctan x} + C$

步骤三：计算第二部分积分$\int \frac{2x \ln(1 + x^2)}{1 + x^2} \, dx$

令$v = \ln(1 + x^2)$，对$v$求导，根据复合函数求导法则$(\ln f(x))^\prime=\frac{f^\prime(x)}{f(x)}$，可得：
$dv = \frac{2x}{1 + x^2} \, dx$
将$v = \ln(1 + x^2)$和$dv = \frac{2x}{1 + x^2} \, dx$代入积分$\int \frac{2x \ln(1 + x^2)}{1 + x^2} \, dx$中，得到：
$\int v \, dv$
根据基本积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$（$n\neq -1$），可得：
$\int v \, dv = \frac{v^2}{2} + C$
再将$v = \ln(1 + x^2)$代回，得到：
$\frac{(\ln(1 + x^2))^2}{2} + C$

步骤四：合并结果

将第一部分和第二部分的积分结果相加，得到原积分的结果：
$e^{\arctan x} + \frac{(\ln(1 + x^2))^2}{2} + C$